snacnadna U'(x — a) H'(x-ha) ^ 6'(a
sn*a7 — sn'a H(a: — a) H(a:-f-a) ^(ût)
Cela étant, je remplace d'abord œ par œ-k-y^ puis par X — y y et je retranche membre à membre. En posant, afin d'abréger l'écriture,
nous trouverons
'isnacnadna 2snacnadna ^. .
= F(2?— 7-l-ûr)
sii'(jr-h^) — sn*a 5n*(a7 — ^)— sn*a
-hF(a?-hj'— a) — F(a?— j' — a).
Remarquons maintenant que, F(â7) changeant de signe avec la variable, la différence
se reproduit si l'on permute â? et a : on en conclu t, après avoir supprimé le facteur a,
saacnadna snacnadna
SD'(a7-Hj') — sn«a sn*(a7 — y) — sn*a
snrrcnrdnrr snârcnâ7dn:r
sn*(a-i-^) — sn*a7 sn*(a — y) — sn^x
Cette équation, intégrée par rapport à a?, donne le résultat suivant; nous avons d'abord dans le premier menabre
snacnadna » ^, x ^/ x
' snacnadna , ^/ x ^/ x
BBS FONCTIONS ELLIPTIQUES. 8^3
Pour le second, les intégrations se font d'elles-mêmes, et il vient
*(a?-i-7, a) — *(a7— ^, a) — 2*(^, a) i Iq„ [s»*^— «"'(<»— ^)]sn'(a -h j^) ^
Permutons ensuite x et y y et observons que *(^, a) change de signe avec x; en ajoutant membre à membre, on aura la relation cherchée
^(x-hy, a) — *(a7, a) — *(7, a)
I 1 [sn' a? — sn» (g — ^)][sn*y— sn- (g — j:)] sn* (g -h x) sn* (a -l->^) ~ 4 [sn'a? — 8n*(g-hj^)J[anj^— sn'(g-i-ir)]sn2(g— a?)sn*{g — y)
On peut parvenir à une expression différente du logarithme, où les arguments x, y, a sont séparés, au moyen de la formule
*(a?, g) = - og rn : -H a? -~ - .
qui nous donne
*(a?-h j^, g) — *(rr, g) — ^{y, a)
" 2 °^H(g — a7)H(g— ^)H(g-h JT-h^)'
Soit, pour un moment,
. H(g — x)H(g— j^)H(g-4-ar-t-r) .
nous savons que Ton obtient ainsi une fonction doublement périodique du paramètre, à savoir :
/(g) = asn*a+ psng + Ycngdng.
Les coefficients a, p, ^ ^^ déterminent par les égalités
a sn'a? -h p sna? -f- ^ ena? dnar = o, a sn>^ -i- p sn^ 4- y cn^ dnj^ = o,
et nous en concluons facilement, en faisant abstraction d^un facteur constant par rapport à a,
f(a)= sn* a{%ïix cfky àr\y — sn/cnrrdnâr) -♦- sn'â7(sDj^cnadna — snacn^dn^) + sn*j^(snacnjrdnâ7 — snâ?cnadna).
Cela étant, soit
c'est-à-dire
/i(^)= siî'a(siî^cn^dn^ — snj/'cnardna?) — sn*â7(sD^cnadna + snacnj^dnj^) sn*j^(saa cnâ?dnâ?+ snâ? CDadna).
La quantité sous le signe logarithmique sera représentée
par la fraction V/ l* D'autres formules ont encore été
données par Legendre et Jacobi : on les trouvera démontrées dans le paragraphe 54des Fundamenta auquel je renvoie.
Remarques auxquelles conduit l'expression des intégrales de troisième espèce.
La réduction de la quantité n(â7, a), qui dépend de deux arguments à des fonctions d'une seule variable, où entrent leur somme et leur différence, a été obtenue comme une conséquence de l'étude générale des transcendantes de Jacobi, dont nous avons fait la base et le point de départ de la théorie.
Je me propose de montrer que l'on peut parvenir à ce résultat important par une autre voie, en employant seulement la fonction inverse de l'intégrale elliptique, et trouver ainsi les théorèmes fondamentaux relatifs à l'addition des arguments dans cette fonction.
Soit, en général,
R(a?) = Aar*-t-Ba?»-HGar*-HDa?-hE et { = <p(a7) la quantité définie par Pégalité
posons encore
et considérons l'expression
r = log({— a).
En différentiant deux, fois par rapport à .r, on trouve
nous aurons pareillement
et Ton en conclut, en retranchant membre à men^bre,
dx^ da^ a(5 — a)»
Un calcul facile donne, par suite, Téquation
dont nous allons écrire Tintégrale.
Soit, à cet effet,
^{x) = J {Xl^^{B^)dx;
on aura Texpression suivante, oh f{x) eifi{x) sont deux
fonctions arbitraires,
Différentîons maintenant, par rapport à a; et par rapport à a; en posant, pour simplifier récriture,
on parviendra à ces relations
ç'(rr)
= F(a? — a)-HFi(a7-+-a)-h<Ka:),
= F(a7 — a)--Fi(a?-ho) — «Ka).
Elles montrent immédiatement, en permutant a: et a, que la fonction F(^) change de signe avec la variable, et de là résulte une conséquence importante.
Soit, pour abréger,
cp'(a)
on forme aisément Tégalité
U(a7-h^, a) — U(a7— 7, a)= F (x-h^ — a) — F (ar— r— a)
dont le second membre se trouve, d'après cette remarque, symétrique en j? et a; il s'ensuit que nous pouvons écrire
U(a? -H^, a) — U(a? — 7, a) = U(a -h^, a?)— U(a — ^'j ar).
Changeons maintenant dans la même relation a en a 4- j% puis en a — y, en ajoutant membre à membre, nous trouverons
U(a?, a -h^) -H U(a7, a.— y) = F(ar — ^ — a) — Fi(a? -t-^' -4- a)
-H F(a? -h^ — a) — Fi(a: — ^ -4^ a)
— ^Ka -h j') — ^/(a — 7).
Mais l'expression
U(a?, a) = F(a: — a) — Fi(a? + a) — ^/(a),
nous donne aussi
l](x -hy^a)-^ U(a7 — y, a) = F{x-{-y — a) — Fj(ar-+-j'-f- a)
-h¥(x—y — a)— Fi(a? — y -^ a) — 2iKa), et, en observant que Ton a
i)(x, a -hj) -H U(a? a — y) = F (x -hy— a) — Fi{x -^y -h a)
H- F (a-— ^ — a) — Fi(:r — 7 -f- a) — ^(a-hy) -^(a—y),
nous parvenons à la relation
C'est un théorème sur Faddition des arguments dans rintégrale de seconde espèce qui est représentée par la fonction ^{y). Éliminons celte quantité en supposant jr = a et retranchant les deux équations membre à membre, nous obtenons
{J{T-hy, a) -t- U(a7 —y, a)=z U(a?,a -t-j) -h U(r, a —y)
-h V (a -h y, a) -h Via— y, a) — U(o, a -h y) — U(ûf, a— j).
Ayant donc déjà l'expression de la différence
nous en concluons la relation que nous nous sommes proposé d'établir, à savoir :
aU(a?-i-7, a) = U(ir, a -i-^)-+- U(x, a — ^)
-f- U(a -h y. a)-r-U(a — y- a) — U(a, a-+-j^) — U(a, a— y) -\-U(a-\-yjX) ~U{a—y,x).
C'est le théorème pour l'addition des arguments dans la fonction ^(a?); je vais en faire l'application aux quantités
S. — Cale, int. 54
848 MOTB SUR hk THÉORIE
snj7, en a: y dn^, après Pavoir écrilsousla forme suivante :
" çCa-hj'j — (p(a?) "■ <p(a— j^) — (p(a7) '
Remarquons, à cet effet, que, en admettant la condition •f( — x)^=z — ^(a?) et prenant a==o, les deux premiers termes se détruisent : il vient donc
?(^)?'(j")— ?'(ar)(p(^)
d'où
Soit d'abord o(j:)=nsn^, nous obtenons immédiatement
sn^x — sn*v
sn(a?-f- v) = T :^ ,
•^ ' snarenj'dnj/" — cnardnarsn^
puis, en multipliant haut et bas par
snrrcn^dn^ -f- cna? dnxsnj',
comme on Ta déjà fait (p. 809),
. . sna?cny dn y-+-cnardna:sn V
sn(a? -h V) = — r^ '- •
-^ ^ I — X:»sn*rFsn*y
Soit ensuite
sna?
' dna?
DBS FONCTIONS KLLIPTIQU£S. 849
nous en déduisons d*abord
cnjr
* dn*a7
el Ton trouve
•/ \ •/ \ sn*a? — sn*v
ce qui donne
sn(x-hy) sn*a? — sn\y
dn(a7-+-j^) sna?dna7cn^ — en a? sn^dnj^*
De là nous tirons, en employant la formule trouvée tout à riieure pour sn(:F -^y)>
dn(:p-f-y)= S"^ ^^^ c»J^ -- cna^sn r dn y après avoir encore multiplié haut et bas par
on obtiendra le résultat connu
i , , dnrdny — A:*sna?cna7 sn vcn v
'^ ^ I — A:«SQ«a7sn>y
Prenons, en dernier lieu,
sna?
ena?'
un calcul semblable conduira d^abord à Téquation
sn(4:-hy) ^ sn*a?— sn'j'
cn{a:-r-y) ~~ snj7cnardnj^ — dno? snj^ cnj^'
d'où Ton tire
. • . __ SDiFcnicdny — dnarsnj^cn)'
•^ snarcnydnj^ — cnx dnxTnj^^
et enfin
. . en a? en y — sn^dna?sn v cin v
en (X -h y) = rr 5 --=^ ^ •
I — A:* sn*a? sn'^
En faisant S = (p(ar), les équations différentielles relatives à ces trois cas sont successivement
Les considérations précédentes ont montré, sans qu^il ait été nécessaire de déterminer les fonctions arbitraires, Tim- ])ortance des relations
= F (x ^ a) -h Fi{x -h a) -h ^(x).
= F(x — a) ^ Fi{x -^ a) — ^{a).
Je me propose, en terminant, de donner cette détermination, dans le cas particulier où Ton prend cp(j?) =:: sn j-. Le polynôme désigné par R($) est alors
(i-î«)(i-A-»?«); la fonction
<J^(.r) = / /i^sn^xdx
coïncide avec Z(^) : nous trouvons, par suite, en faisant
= F(a:)-i-F,(ip)-f-Z(.r),
snâ?
La première égalité conduit à considérer Texpression
%liX
DBS FONCTIONS ELLIPTIQUES. 85 1
je la représenterai par Zi{x) : cela étant, on aura
D^Z|(ar) = k* sn«a? — - \ DxZ(ar),
et en réduisant
^ ' sn«a?
Nous en concluons, après avoir remarqué que Z, ( a) s'annule pour a: =: K,
Ceci posé, je reviens à Téquation cnadna
sna? — sna
= F(a? — a)— Ft(a?-i-a)— .Z(a),
pour y changer a en — a et retrancher membre à membre. On trouve ainsi
— — — v{x — a)-t-ri(iF — a)
— F(ar -T- a) — Fi (ar -h a) — -^ZCrt ), c'est-à-dire
2snacnadna „ , \ i / , ^\ tr
sn*J7 — 8n*a / *x
Ce résultat met en évidence la nature analytique de Tintégrale de troisième espèce
^, ^ r' sna cnadna dx
Jq sn*a? — sn»a
où n'entrent que les quantités œ — a, x -h a, et qui s'obtient au moyen de la fonction d'une seule variable
/ Zi(x)dx.
La formule même de Jacobi en découle ensuite, comme conséquence de l'expression suivante de Z](j?).
Changeons a? en jt + t'K' dans Téquation
elle prend celle nouvelle forme
sn*ar " K •* H(a^)'
el Ton en lire, en observanl que H'(K) =1:0,
dx J(a?— K) W(x)
,g sn«a? K H(t)'
ce qui nous donne
H'(rF) J(a7-K) ^'("^>= HÔF) K
De celle relation, jointe à Pégaiité
z(x) = X - ëTÏ) '
résulte, par un calcul facile, la relation qu^îl s'agissait d'établir
TLSXïa cnaàna \V{x — a) H'(ar-+-a) 6'(«)
sn-x — sn'a H(a? — a) H(:p-+-a) 6(a)
el nous avons vu que la formule de Jacobi en est la conséquence immédiate.
Des fonctions de M. Weiersirass.
L'application de la formule de Maclaurin aux fonctions snj?, en J7, dn^ conduit à des développements suivant les puissances de la variable dont les coefficients sont des polynômes entiers en k*, qui s'obtiennent au moyen des re-
BKS PONCTIONS ELLIPTIQUES. 853
ialions différentielles
D:rsnâ!r= cn^rdoâ;, Dx cna? = — snx dnrr, D^ dnar = — A:' snrr cn^.
Si Ton considère snj?, par exemple, on trouve successivement
D*snjr= a^'sn'a? — (n-A:')sna7,
D^snx == {Sk^sn^x — i — k*)cnxdnx,
D*snr = 24^*sn»a? — ao(A:*M- A:*)sn*a7-h (i-f-i4^«-+-A:*)sna?,
et Ton en conclut, en supposant w=^o, les coefficients cherchés. De là résulte la série
i-hX:» , n-i4X:«-f-/* .
sna? = ar ;; — rr*-+- ^ a?* — . . .,
et Ton obtiendra pareillement
dnx — 1 a?*H ; a?* -^ a?«-h
Mais ces formules n^ont lieu qu^à Tintérieur du cercle ayant son centre à Torigine, et dont le rayon est le module de là*plus petite des quantités qui rendent les trois fonctions infinies; en supposant k* réel et moindre que Tunité, cette quantité est K', comme nous le savons. Les séries ainsi obtenues sont néanmoins d^une grande importance, et je m^y arrêterai un moment pour indiquer une liaison remarquable entre les développements des puissances de sno? et des puissances de Pintégrale
dx
J^observerai d^abord que de la relation
r^2P„(z)ar»,
OÙ
est le polynôme de Legendre, on déduit, en remplaçant jr par A: j?' et 5 par — , - >
Soit donc, pour abréger, R„ — ^^'^^ A:» P,, y-^j^ J : nous aurons, en intégrant à partir de a: = o,
où R„ est évidemment un polynôme entier du /i**«« degré en A:'.
Cela posé, désignons par a un exposant entier positif ou négatif, et posons, en considérant la dérivée de sn^*^^^,
cna7dna?sn«iF = :r«(i -4-S*a7« -h . . . -n S^ a?*" -4- . . .> Le coefGcient S^ s^exprime par la formule
cnx dnxsn*^xdx
en prenant Tintégrale le long d^une circonférence de rayon inOniment petit, dont le centre est à Torigine. Soit sn j? = £ ; on aura x^=^ aux infiniment petits près du troisième ordre, les deux variables décrivant le même contour. La relation obtenue par cette substitution.
DBS FONCTIONS ELLIPTIQUES. 855
montre que SJ est le coefficient de y dans le développe-
. ta .
ment de la quantité j^^^^^i suivant les puissances croissantes de ^. De là résulte que, si Ton pose
~=^(n-RîÇ«-f-... + R«Ç«'« -4-. ..)-«, on a
Sa — Ua+tn-\-l
cnardnirsn«iF=:ar«(n-R'î+'iF«-+- ... -h Rî+*"+*ar»« -{-...;. On en conclut, en intégrant par rapport à ^,
a -hi
et, plus simplement, si Ton change a en a — i, et C en - ^
îin«a7 = G -+- a7« ( i -I *— x* -f- . . . H ^ — a:*'» — . . . ,
\ a-f2 a-f-2Ai /
La constante C, dans cette formule, doit évidemment être supposée nulle lorsque a est positif, et aussi lorsque rt est impair, quel que soit son signe, afin que les deux membres prennent des valeurs égales et de signes contraires lorsqu'on change a; en — x.
Les cas particuliers où l'exposant a est égal à — 2 ou ù 2 ont une grande importance et doivent être signalés en ce moment.
Le premier donne l'origine de la fonction que M.Weierstrass a introduite dans la théorie des fonctions elliptiques en le définissant dans la relation
856 NOTE SUR LA. THfiORIB
On a ainsi
^ ar* i5 • 189
et voici la propriété caractéristique de ce développement. Désignons par F (A:*) le coefficient de a?*'*~*, on a les relations suivantes :
Itllles résultent facilement de Téquation différentielle
qui s^écrit toujours
p'«(a:)=4p»(ar) — ^,p(ir)— ^,.
Le théorème pour Taddition des arguments sWfre sous une forme particulièrement simple; il est donné par la relation
que je vais démontrer.
Je rappelle, pour cela, l'égalité précédemment établie
où Ton a
en désignant par ^(a?) la fonction inverse d^une intégrale elliptique quelconque; j'en ferai usage en supposant
et a infiniment petit.
Ecrivons alors
U(ar, a) = — DaIog[p(a) — p(j?)],
DES PONCTIONS ELLIPTIQUES. Soj
et remplaçons p{a) par --» nous aurons ainsi
U(a:, a) = — Dalog
Développons en série et négligeons les puissances de a supérieures à la première, il viendra
U(a?,a)= - -+-aap(:r) et, par conséquent,
U(J^-+-^, a) — U(a7— j^, a) = sta[p(a?4-^) — p(a7— j^)].
Opérons de même sur la quantité
= — Dxlog[p(a7)— .p(a-f-y)];
le développement en série limité aux deux premiers termes nous donne
U(a -4-^, a?) r^ — Dx log[p(iP) — p(j^ )]
— aT>iy]og[p(x)-p(y)].
De là on conclut, la fonction p{y) étant paire,
U(a -f-^-, ar) — U(a — ^, ar) = ~ aaOi^ log[p(a7) — p( j)|. et nous parvenons à la relation
En considérant, en second lieu, Fégalîté
-+- U(a -h^, a) H- U(a — ^, a) — U(a, a -hjr) — U(a, a — >'),
on aura d^abord, diaprés ce qu^on vient de voir,
U(ar-+-^, a)-h U(.r — j^, a)= - -h 2a[p(rr-4-^)
Nous emploierons ensuite les développements de
l]{x,a-hy), l](a,a-h-y), l]{a-hy,a)
qui s^obtiennent aisément, comme nous allons le mon Irer.
Des formules
V(x,a-hjr) = — Dj,log[p(ar) — p(a-H^)], U(a, a ~hjr) == — Dy log[p(a) - p(a -h y)],
nous tirons, en effet,
U(a:, a -hy) = - Dy log[p(a:) - p{jr)]
— aD^\og[p(x) -- p{x)],
puis, en remplaçant p(a) par — ^y
U(a, a -f-7) = - Dy log [ 1^ - p (a -4- j^)J = — Dylog[i - a*p{a -+-^)], ce qui donne, si nous négligeons a',
U(rr, a-i-jr) = o.
On a enfin
li{a-hy,a) =
^— p(a-f-j') = i-4-2ap(>');
ces résultats permettent d'écrire, en observant encore
DES PONCTIONS ELLIPTIQUES. 869
que p{y) est une fonction paire,
IJ (x, a -1-7) -h-l](x,a —y) = — aaD» log[p(ip) — p{y)\, U(rt-+-j^, a)-+-U(a— ^, a)= ^ -^^ap(y),
le
et nous en concluons, en égalant les termes en a, la relation
iNous rajouterons, membre à membre, avec celle qu^on en déduit en permutant les variables, à savoir
on aura, par suite,
~D«log[p(:F)~p(^)I -D«Iog[p(ar)-p(^)].
<]eci posé, la différent! a tion nous donne
D> log[p(a:) -.p(^)] -+. D» log[p(ar) - p{y)]
\p'(^)-p'(y)]\p(^)-p(y)]-p'H:r)-'P'Hy).
on tire ensuite de Féquation différentielle, à laquelle satisfait la fonction p(a?),
et, par conséquent,
P'(^)-P'(j^) = 6lp«(^)-P«(7)].
Nous avons donc
Dilog[p(:r)-p(^)l + DJlog[p(x)-p(j^)l
86o NOTE SUR LA THfiORIE
el de là résulte la relation à laquelle il fallait parvenir
11 suffit maintenant de la joindre à Tégalité précédemluent obtenue
pour en conclure le théorème de Paddition des arguments,
''<'-^'-î[îïfT^^]"-'""-''<'>-
Mais mon but n^est pas d^ex.poser les propriétés de cette fonction qui lui donnent le rôle d^un élément analytique propre : je renverrai à TOuvrage mémorable d4Ialphen publié sous le titre de Traité des fonctions elliptiques et fie leurs applications, dans lequel elles sont mises en lumière et appliquées à de nombreuses et importantes questions.
Pour le second cas de a = 2, on a la série
i~hA:« , 2 -4- Il A:* -h 2 A:^ . sn'iT = a?' s — 37* H 77 X* — . . . .
On en tire, en multipliant par k* et intégrant à partir de J7 =: o,
^/ X ^* , X«-hA:* ^ 2X«-f-iiA-*-f-2A-« ,
Jl( X) = X' •— X* -+■ X' — ....
Cette expression sert de point de départ aux considérations que nous allons développer.
I. — Définition des quatre fonctions Al(jr). Relations différentielles.
CjQ n'est pas seulement la fonction Z(x) qui est déve-
loppable en une série ordonnée suivant les puissances de la variable, et dont les coefficients sont des polynômes en*
tiers en k*. IL en est de même de Tintégrale / Z{x) dx^
et aussi de Texponentielle
Mais, tandis qu'à l'égard de sn*^?, Z{x) et / Z{jc)djc,
Jo
les développements supposent le module de la variable moindre que K', l'exponentielle
conduit à une série convergente dans tout le plan qui représente une fonction holomorphe. C'est ce qui résulte de ia relation de Jacobi
d'où l'on tire
et, par conséquent,
Voici donc une propriété bien digne d'attention de Ja fonction 6(j7), de se changer, lorsqu'on la multiplie par
le facteur ^,- v eiK? en une nouvelle expression où l'argu-
inenl est sorti du signe cosinus, et où figure directement le
module à la place des quantités K et ^^=:e ^ , Posons d'abord, avec M. Weierstrass,
AH et, soit ensuite
-f Z(x)dx
Al(a7)i = snare '^^
/tx -/ Z(.T)rfjr
Al(a7)j= cnxe ''^ ,
— f^l{x)dx
k\{x)z—ànxe •'<>
Les fonotions ainsi définies sont pareillement développablés suivant les puissances de la variable en séries, où Aenlre sous forme entière. Et ces séries sont holomorphef^, comme le montrent les expressions suivantes
«1(0) qui résultent immédiatement des relations connues
v/Âe(o)=H'(o),
On voit donc s'offrir, à côté des formules
CD
où figurent des séries trigonométriques , cet autre mode de représentation, par des fractions dont les deux termes sont des séries rationnelles en x et k^y à savoir :
Al(a?)i /A\ J Al(a?)j
Abél avait entrevu et annoncé ces importants résultats ; mais c'est à M. Weierstrass que revient Thonneur d'avoir donnéy au lieu d'un simple aperçu, une théorie analytique profonde, conduisant d'une manière directe à ces nouvelles expressions, non seulement dans le cas des transcendantes elliptiques, mais pour les transcendantes abéliennes, à un nombre quelconque de variables. Ne pouvant exposer ici les principes dont cet illustre géomètre a tiré ses grandes et belles découvertes, nous nous bornerons aux indications suivantes sur les fonctions que nous venons de définir.
Je remarque d'abord qu'en changeant j? en j: + 2 K dans l'égalité
on en conclut
A\{x 4- aK) = Al(a7)e-»J('+K), S. — Cale, inL 55
et que les équations (A) donoent, diaprés la périodicité de snj^, cn^, dnj:,
Al(a?-4-2K), = — Ai(a?),€-«J<'-^«^>, AI(ar-haK), = — Al(3?),^«J <"*"»), Al(ar-H2K), = -+-Al(a?)se-»'('-^K). .
Changeons y en second lieu, x en â? + 2{K', on aura ainsi
en employant la relation
JK'h-- =J'K, il vient ensuite
Al(ar-l-2tK') =-Al(3?) e-«'J'<'+'K'),
et, si Ton recourt encore aux équations (A), on obtient
Al(a7H-2iK')i = — Al(ar)ie-»'J'<'+'«i'), Al(ar -f- aiK')i = h- Al(a?),e-«'J'('-^'»'), Al(rr-h2tK'), = -^Al(ar)3C-«"'t'-^'«^').
A ces résultats, je joindrai ceux qui découlent des formules
Al(ar) = e ''»
Al(a?^,
8na7= -ryr r >
en diiïérentiant deux fois par rapport à x^ ce qui donne
D» log\l(x) = — A:» sn« j?, D» logAl(:r), — DJ log Al(a?) = A:« sn«a7 ' - .
Su «F
On en conclut, après avoir remplacé snj? par * A-t »
les équations différentielles
.,, ^ rf*Al(a?)i rdM(x\y ., ,
D^une manière analogue, ou comme conséquence des relations algébriques
Al«(a?)t= Al«(a?)- M«(a?)i, Al«(iF),= Al»(iP) - *«Al«(ar)„
nous aurons encore
Ces relations importantes, que M. Weierstrass tire immédiatement des équations de définition
DxSnar= CQ:rda:r, Dx en 07 = — bnxdnx, D;cdniP = — X:* sn:rcn:r,
et par une méthode qui s'applique aux transcendantes abéliennes les plus générales, peuvçnt alors, par une nouvelle méthode, conduire aux fonctions 6, ou servir à dé* montrer directement qu'elles déOnissent des fonctions développabtes, suivant les puissances de la variable, en séries indéâniment convergentes, et dont les coefGcients sont des fonctions entières de k* à coefGcients rationnels. Toutefois, pour effectuer les développements, on suit une voie différente et plus simple dont voici le principe.
HOTS SUS LA THeOBIB
II. — Équations aux di^érenttelUs partielles. Formules de développement.
Une analyse un peu longue, pour que nous puissioati la rapporter ici, a conduit M. Weîerstrass à ces équations linéaires aux dilTérences partielles, savoir :
dj7ï ^ dx dk ^' +*a-')AI(j-),
— ' " + ai» 3- — -3-i — - -t-a**'* — -j>-iî H-(t + A'j») Al (an, =
rf*AU:r), 1 di'
iAI(£),
..dAIW,
H-(*»-i-*>ar»)AI(j)ï
Ces relations importantes sont éminemment propres aux développements en séries, et l'on en tire les formules sui* vantes. Soit, en désignant le produit i .a.3. . ./i par n\.
Al ^) = I -
AI(a;), = ;F- Al(3;),= i-'
(') Le terme en x* manque dans ce développement , < voit a priori pn l'expression « *'° , où la série
on aura
Ae r- 5f2(A«-hA:»o)-+-3oo8(A:*-^A:»)-H54ooA:«,
Ag ^ 8i92(A:«-^A:«*) + 95232(A:*-t-A:«»)
-h 3955ao(A:«4- Â:»o) -h 603376 ^8),
2853888 (A-« -h A'») 5668o96(A:«-f-A:io),
i90976oo(A:« -h A:«*)-h38i53728(A:» H- ^»«) -^42090784^",
Bj =i-hA:* -f- 4 A:»,
B, ^i-hA:« -4- 9(A:*+>t*),
Bv =n-A:« -h i6(A:«4-A«) — 6A:*,
Be =ri-hA:J»-+- 36(A:«-f-X:»o)— 578i(A:»-i-A:8)— i2i84X:«,
Bg =i-+-A:»«-h 64(A:«-f-*»*)- 602892 (^^-t- A:")
B9 =i-f-A:»«+ 8i(A:»-hA:1«) — 45375oo(A:*-f-A-»*)
Bio = I -H A:"-+- ioo(A:«-t- A-»)
— 4085671 5( A:* -+- A:") — 3i38oo8o(A:«+ A:'*)
NOTB SUB LA THÉORIB
et
-i-h ùk*
Ct
= ï-+-3oA:»
