CHAPITRE I
Ce résultat ne dlfFère que dans la forme de celui qui a été obtenu au b? 415.
2? Soit en second lieu l'intégrale
r(arcsina:)''ûLF,
n étant un entier positif; on a ici
zz=ai'csinj:, -7- = . -> X = i,
et Ton peut faire
X, = x, Xj = — v/»-^» X, = ^x, X4 = -f-v^i — xâ,
après quoi les mêmes valeurs reviennent périodiquement On a donc
(arcsinx)'*r/j?
.^. , = j:[farc sinx)** — «(« — i) (arcsinx)'*-*-*-. . .]
-\- ^i — x*[/i(arcsinx)'*"*— /i{« — i)[n — 2) arc (sinx) '*"•■+-,., -4- const.
Si, dans cette formule (5), on écrit x, sino:, cosor, au lieu de arc sinor, x, ^i — a;'**, on aura
x^ Gosxdx =z sinx fx'* — n [n — i) x"""' -}-...]
cosx[/ix'*"* — /i (/i — - 1 ) ; /i — 2) x**"' — . . . J -4- const»
430. Revenons à la formule (4) du numéro précédent. Les différentielles des deux membres sont identiquement égales entre elles, quelle que soit la constante m^ et l'identité ne sera point altérée si l'on suppose cette constante imaginaire. Soit donc m = a 4- i ^ — i, il viendra
-__ j^n ____ !-..,:+: --: ■ -4- const.
Remplaçant e^**"^*^"^' par sa valeur
et égalant ensuite, de part et d^autre, les parties réelles et les parties affectées du facteur yj — i , on aura les valeurs des deux intégrales
/ x*^à^'cosbxdxy j x'^e^^smbxdxy
dans le cas où n est un entier positif. Si Ton fait
a -h b v— »' =p(cosa -+• ^— i sina), on trouvera ainsi I x^ e^^cos bxfix
= tf***| -x'^cosUjx — a) x'*'-*cos(6jr — 2«)-f-..i
e**^ smbxiix
^ ,.J. CO&ibx — n -4- la) + const.^
j—j^x ^ x'^ûnibx — «) x""*8in(^« — 2a) -f-...
± i Z 8in(6a:— /H- 1 a) M- const.
Il importe de remarquer le cas de n = o ; on a
ff*** CCS bxdxz= - e^* cos (bx — a) -f- const««
e^^ sin bxdx=: - c^' sin [bx — a) -*- const.^
ou
e^' cos bxdxz= e*^ ^ — ~~ h const.y
. , , ^ asinbx — b cos bx &^' sm bxdx = e"* i- — ,^ 1- consU
CHAPITUE I. 71
On obtient directement ces deux formules en intégrant par parties les deux différentielles e^cosbxdx^ &^svabxdx\ car, en opérant ainsi, on forme deux relations entre les intégrales de ces différentielles, desquelles on peut tirer les expressions que nous venons de trouver.
451 . La méthode du n^ 448, et plus généralement le procédé de l'intégration par parties, permettent souvent de réduire à des formes plus simples certaines intégrales dont la valeur n'est pas exprimable par les fonctions algébriques, logarithmiques, etc.
Considérons, par exemple, l'intégrale
— dx.
dx dans laquelle n représente un entier positif. Comme -^
est la différentielle de — , r~^iri' l'intégration par
parties donnera
—.dx = ^ (/i-i)ar^i""rrï j ^^i"^*
et, au moyen de cette formule, on ramènera l'intégrale proposée à
— elx.
Intégration des différentielles de la forme Pdx, P étant un produit de sinus ou de cosinus de fonctions linéaires de x.
452. Les différentielles de cette forme se présentent dans un grand nombre de questions, et il est aisé d'en avoir l'intégrale. Soit d'abord
P = cos [ax H- ô) CCS [a'x -f- b*).
73 CALCUL IlfTÉaRÀL.
on peut écrire
on aura donc» sia~\-a'eia — a' sont différents de zéro.
Ffix =
a (a -H a') sîn \(a — a)x -^ (b — b')]
2 (a — a'j et, dans le cas de a' = af
