Théorème IL — Si

sont des 'valeurs de x telles ifue/(x) reste bien déterminée et continue quand x varie de l^une de ces va^ leurs à la suivante j on a

I f[x)dx=\ f[x)dx-Jr \ /(«)rfx-t-...-f. / f[x)dx.

En effet, cette formule n'est autre chose que l'égalité identique

= [F(:r,) -F(^o)] ^- [F(^,) --F(xO] 4-. ..-H [F(X)-F(x„«,)]-

On peut encore démontrer la formule dont il s'agit en regardant les intégrales définies comme des limites de sommes. Si Xo» ^o • • •, X sont disposées par ordre de grandeur, les deux membres de notre formule sont égaux à la limite d'une même somme d'éléments infiniment petits. Il en est de même quand Xo > ^u • • m ^ i^^ sont

S. — Cale* inu 0

8a CALCUL IHTÉGEÀL.

pas disposées par ordre de grandeur, car les éléments infiniment petits de la seconde somme qui ne se trouvent pas dans la première sont égaux deux à deux et de signes contraires.

461. Théorème III. — Soient j{x) et f[x) deux fonctions qui restent continues pour les valeurs de x comprises entre les limites x© ef X ]> a:© ; si pour toutes les valeurs de x on a/{x)'^(f{x), on aura aussi

j /(j:)£ir>> / f{x)dx.

En effet, par hypothèse, la fonction y(a:) — (f{x) est positive pour les valeurs de x comprises entre or^ et X ; par conséquent, la fonction

[/{x)--(f{x)]dx,

dont elle est la dérivée, est croissante. Or cette fonction s'annule pour x =Xo ; donc elle est positive pour a? = X, et Ton a

[/(x) — y(j:)]ûtr>0 ou / /(.rJÉ^r— / 9» (jr) é/x> O.

On arrive plus rapidement à ce résultat en considérant les deux intégrales proposées comme des limites de sommes; effectivement, chaque élément /*(x) rfj: de la première somme est plus grand que l'élément correspondant o{x)dx de la seconde; celle-ci est donc inférieure à l'autre.

C0KOLLA.1KE. — Si la fonction f{x) est comprise entre deux autres fonctions cf ( x), ^(x), pour toutes les va" leurs de x comprises entre x^ et X, et que ces fonctions soient continues de x = Xq à x =:lLy on obtiendra deux