CHAPITRE II

limites de l ^intégrale j f{pc) dx en prenant j <f{x)dx et j ^{x)dx.

— t où Ton

suppose m^ 2. II est évident que cette intégrale augmentera si Ton diminue m, et qu^elle diminuera si Ton augmente m ; elle est donc comprise entre

c'est-à-diire entre

I dx et I

-=o,5 et arcsin - = -; =o,523. . . . a 2 b

463. Théorème IV. — Soient uet v deux fonctions de X : 51 la fonction v consente le même signe quand x varie de x^ à X, on aura

U désignant une quantité comprise entre la plus grande et la plus petite des valeurs que prend u quand x varie de Xq à X«

En efiety soient A et B la plus petite et la plus grande des valeurs de u; on aura constamment, si i/ est positif,

et, si f^ est négatif,

donc rintégrale i iti^efx est comprise entre / Ai^dx

et / Bi'dar, c'est-à-dire entre les deux produits que l'on

obtient en multipliant A et B par l'intégrale i i^ dx ; de là résulte évidemment Tégalité qu'il s'agissait d'établir.

Cas ou les limites des intégrales sont infinies.

46i. En traitant des propriétés des intégrales déGnies

f{x) dx, nous avons supposé la fonction y(a:) con-

tinue pour les valeurs de x comprises entre j:© et X ; ces limites sont d'ailleurs des quantités déterminées quelconques. Nous maintiendrons ici la même hypothèse ; mais nous supposerons x^ etX variables, et nous allons examiner le cas dans lequel l'une ou l'autre de ces limites devient infinie.

L'intégrale de la différentielle y(a:)rfj:, prise entre deux limites infinies, ou entre une limite finie et une limite infinie, peut avoir une valeur finie; elle peut aussi être infinie ou indéterminée; nous allons donner des exemples de ces divers cas.

et, si l'on fait tendre X vers -;- oo , on aura

e"' dx z=^ €'^•1

faisant tendre au contraire Xq vers — oo ^ on a