hx* 3® Soit encore la différentielle cosor^x; on a

cosx d!r = sînX,

et il est évident que cette intégrale cesse d'être déterminée quand on suppose X = oo .

465. On ne peut pas indiquer de critérium qui permette de décider d^une manière générale si l'intégrale

I y(x) dx reste finie et déterminée quand Tune ou

l'autre des limites tend vers l'infini. Voîci cependant un théorème qui donne le moyen de décider la question dans un assez grand nombre de cas.

Théobème. — Soitf[x) une fonction qui reste finie pour les "valeurs de x comprises entre Xo ef -f- oo . Si, pour les ^valeurs de x supérieures à une certaine quantité a fia ^valeur absolue du produit x"fi{x) est constamment inférieure à un nombre donné K, et que l'expo-

gg CALCUL IIÎTÉailAL.

' f{x) dx tendra

vers une limite finie quand on fera tendre X vers -H oo • Au contraire, si pour les valeurs de x supérieures à une quantité a la fonction f[x) conserve le ménie signe, et que la valeur absolue duproduit x''f{x) ne soit jamais inférieure à un nombre donné K, l'exposant n étant

' f{x) dx deviendra infinie en même temps que X.

En effet, on a

J /[.r)dr = J/{x)dr-^~J/{jr)cix;

la première des intégrales du second membre a une va* leur déterminée, et il suffit en conséquence de considérer la seconde.

i^ Si la valeur absolue du produit x'^f{x) est inférieure à K, pour les valeurs de x comprises entre a et + 00 , il est évident que la valeur absolue de l'inté-

grale / f{x)

dx est elle-même inférieure à

quantité qui, dans l'hypothèse de n ^ i , se réduit, pour ^ = ^^ ^ ,^,. n,i' Donc l'intégrale / f{x)dx

reste finie pour X = x , et, par conséquent, il en est de même de la proposée.

a° Si la valeur absolue du produit x'^f{x) n'est pas inférieure au nombre donné K pour les valeurs de x comprises entre a et oo , et qu'en outre la fonction y(x)