ExEKPLB. — Considérons l'intégrale / e^'^dx
Soit n un nombre positif aussi grand qu'on voudra, K une quantité positive donnée quelconque. La valeur absolue du produit x^e"-*' tend vers zéro, quand x tend vers ± 00 ; donc on peut assigner une valeur a de x telle, que de x = + aàx=H-ao, ou dex = — «àx = — oo , la valeur absolue du produit x^e"^^ soit inférieure à R. Il en
résulte que l'intégrale proposée conserve une valeur finie e'^^dxj quand on fait tendre X vers H- co et Xq
vers — 00 .
Plus généralement, sîy(a:) est une fonction de a: qui reste finie pour toutes les valeurs de j: comprises entre
— oc et -4- 00
valeur finie.
, l'intégrale 1 f{x)e~^^dx aura une
Cas oii la fonction contenue sous le signe j déifient infinie aux limites de l'intégrale.
467. Supposons que la fonction y(x) reste finie pour les valeurs de x comprises entre Xq et X, mais qu'elle devienne infinie pour a: = X. Dans ce cas, si l'on désigne par e une quantité de même signe que X — Xo, l'inté-
gralû J A^)
dx est la limite vers laquelle tend
/(x)dx,
quand on fait tendre e vers la limite zéro. Il peut arriver que la précédente intégrale croisse au delà de toute limite, et alors la proposée est infinie.
Pareillement, si la foncliony(j:) devient infinie pour x = Xq, et que l'on désigne toujours par e une quantité
de même signe que X — x©, l'intégrale / f[x)dx sera
la limite vers laquelle tend l'intégrale 1 f{^) dxj
quand on fait tendre e vers zéro.
Nous allons démontrer un théorème analogue à celui du n®465 et au moyen duquel on peut décider, dans cer-
CHAPTTKE 11. 89
taîns cas, si une intégrale conserve une valeur finie
quand la fonction qui multiplie dx sous le signe / devient infinie aux limites de l'intégrale.
468. Théorème. — Soit f[x) une fonction qui reste finie pour les valeurs de x comprises entre Xo et X, mais qui devdenne infinie pour a: = X. Si Von peut assigner une quantité a entre x^ et X, telle que pour les valeurs de X comprises entre a et IL la valeur absolue du produit (X — ^Yf{^) ou [x — 'X)"/{x) soit inférieure à une quantité déterminée K, le nombre n étant moindre
que I, l'intégrale j f{x) dx aura une valeur finie,
j4u contraire, si l'on peut assigner une quantité a entre Xq et X, telle que pour les valeurs de x comprises entre a et ^ le produit (X — ^Yf{^) ou [x — X)'»y(j:) consente le même signe et soit constamment supérieur à une quantité déterminée K, le nombre n étant égala i
ou plus grand que i, V intégrale j f{x)dx sera infinie.
En effet, on a
f f[x)djr= f f[x)dx-k- f /{:t)dx;
la première des intégrales du second membre a une valeur finie ; il sufQt, en conséquence, de considérer la deuxième intégrale.
i** Supposons que de j:=raàj: = Xla valeur absolue du produit [± (X — ^)Yf{^) soit moindre que la quantité déterminée K, le nombre n étant en outre inférieur à 1 ; il est évident que la valeur absolue de Tin-
9^ CALCUL I^^TÉGUAL*
tégrale / f[x)dx sera inférieure à la valeur absolue
^^ / F+^rjC^-^rv»* ^^^^ rinlégrale indéfinie de
F3r - V \Ti ^ pour valeur -^- — - — ■ Y- const. ;
on a donc, à cause de 7î<[ i ,
r^ Kdx __i4zK[=bfX-a)p-»
d'où il suit que l'intégrale proposée a une valeur finie.
2» Supposons que de a: = aàa: = X le produit [it(X — J^)YJ'{j^) conserve le même signe, et que sa valeur absolue soit plus grande que la quantité déterminée K, le nombre n étant d'ailleurs égal ou supérieur
à I. La' valeur absolue de l'intégrale / f[x)dx
supérieure à celle de l'intégrale / .^^^ ^ — rr^^ or on a, quand n est>>iy
sera
et, quand n = i ,
Kdx „ . X — a = Klog
le second membre de chacune des formules précédentes devient infini pour x = X, et, par conséquent, l'intégrale f f{x)dx est infinie, ainsi que la proposée. Comme on peut intervertir les limites de l'intégrale^
