Exemples. — i*^ Considérons l'intégrale
I i l Onaicî/(x)=--^z:^:=:xet(i — x)'y(.r) = ;xétant
Vl — J^* ^l-hx
positif^ ce produit est inférieur à i ; on en conclut que rintégrale a une valeur finie. Nous savions d'avance qu'il en est ainsi, car l'intégrale proposée est la valeur de arc sinor pour x = if et par conséquent cette intégrale
est égale à -•
Q? Considérons l'intégrale
où Xl' désigne une quantité positive inférieure il. On a ici
le second membre de cette formule est inférieur à ■
S/i — A* pour toutes les valeurs de x comprises entre o et i ;
donc l'intégrale proposée a une valeur finie.
3*^ Considérons l'intégrale
r dx
i laquelle se réduit la précédente lorsqu'on a A:^=i On a icif{x) = jj et
9^ CALCUL IHTÉGKAL.
le second membre de cette formule est supérieur à - ,
pour toutes les valeurs de x comprises entre o et i ; donc l'intégrale proposée est infinie. Au reste, cette intégrale est la valeur que prend pour a: = i la fonction
rri-î^-v/f
et Ton voit que la valeur en question est effectivement infinie.
4*^ Considérons encore l'intégrale
■ '"f^" dx.
où n désigne un nombre compris entre o et i . On a f[x) = — ^ j et cette fonction est infinie pour a: = o. En désignant par e un nombre compris entre o et i — /z,
or, quand X tend vers zéro, le produit x^logx tend aussi vers zéro ; on peut donc assigner une quantité a telle, que dea:=:oàj: = a le produit x'^'^^f^x) soit inférieur à une quantité quelconque donnée K ; d'ailleurs ;i •+- € est inférieur à i ; donc l'intégrale proposée a une valeur finie.
Cas oh la fonction contenue sôus le signe I devient infinie entre les limites de l'intégration.
470. Lorsque la fonction /{x) devient infinie pour une valeur Xf de x comprise entre Xo et X ^x©, il faut
regarder l'intégrale / f{x)dx comme la limite vers
chapithe II. 93
laquelle tend la somme
lorsque e et yj tendent vers la limite zéro. Une telle intégrale peut avoir une valeur finie et déterminée; elle peut aussi être infinie ou indéterminée. Considérons par exemple Tintégrale
où a et a désignent des nombres positifs et où n est un
exposant compris entre o et 1 , et de la forme —- >
/A et V étant des entiers ; on aura
f:>Hr>m'
or
.yjl-»
donc
= lim(
e*"" et >3*~'' s'annulent à la limite; Tintégrale proposée a donc une valeur finie et déterminée, savoir :
Si le nombre n est de la forme — ^^ » u et v étant
av -r I ^
entiers, et qu^on le suppose plus grand que i, on aura
f^dx T / I f^\
r^ffx I / I i__\;
la somme de ces deux intégrales, savoir
croit au delà de toute limite quand les infiniment petits positifs e, r, tendent vers zéro ; donc alors l'intégrale proposée est infinie.
Considérons encore le cas de 71 = i ; l'intégrale proposée est
Or on a, en faisant x = — ty dx = — A,
d'ailleurs
£'?=Xt=-='
r^'dx , a
donc
/ . — = log — = log h log -•
J ^ X CLT, OC IQ
La limite du rapport des infiniment petits e, y) est indéterminée ; donc l'intégrale 1 — est elle-même indé-
terminée.
CHAt»ITRE II. gH
