Revenons à l'expression générale
r* f[a:)dx^f f[x]dj:;
si l'on suppose t] = e, elle se réduit à
(2) r * f[x)dx^ f f[x)dx.
Xo ^ X|+»
La limite vers laquelle elle tend quand on fait tendre t vers zéro a été nommée par Cauchy valeur principale
de l'intégrale définie l /{^c) dx. Ainsi la valeur prin-
r dx
cipale de l'intégrale j — que nous venons de considérer est log--
Si l'intégrale I f[x)dxsL une valeur finie et déter-
minée, il est évident que cette valeur sera la limite vers laquelle tendra la somme
(3) f^'*/(x)dx-^f f[x)dx,
quand e tendra vers zéro, quels que soient les membres positifs fx et V ; donc alors la difiiérence des sommes ( a ) et (3), savoir
£1-1" /»Jft-+^«
/{x)dx-^ I f[x)dx
doit tendre vers zéro avec e, quels que soient fA et v. Si donc on peut constater qu'il n'en est pas ainsi, on conclura que l'intégrale proposée n'a pas une valeur finie
g6 CALCUL iktéguàl.
cl déterminée. Les intégrales
/(x)dx, / /[x)dx,
OÙ e désigne un infiniment petit, ont été nommées par Cauchy des intégrales définies singulières. On peut retrouver, par la considération de ces intégrales, le résul- Ut établi au n'' 466.
En général, si la fonction /'{x) devient infinie pour les valeurs x^, x^j . . . , Xi comprises entre x^ et X, on
ff{^)
devra regarder i f(x)dx comme la limite vers la-
quelle tend la somme
+ / f[x)dx'h \ f[x)dx^
quand les quantités e et y] tendent vers zéro. Ce cas se ramène, au reste, au précédent, en décomposant Tintervalle de Xo à X en plusieurs autres.
Démonstration nouvelle de la formule de Tajlor.
472. La considération des intégrales définies fournit une démonstration très* simple et très-élégante de la formule de Taylor.
Soient x et A deux quantités données, t une variable ety"(xH-A — t) une fonction que nous supposerons continue, ainsi que ses n premières dérivées pour les valeurs de t comprises entre o et h. L'intégration par parties donnera, en représentant pary'(xH-A — f), /"{x-^h — t)y • • • les dérivées successives de la fonc-
CHA.P1TRE II. g^
tion f^x-^h — t) prises relativement à la variable
