I — l) Jo '2.3...f« — l

Ajoatons toutes ces inégalités, faisons ensuite t=:h, et remarquons que Ton a

r r(;r^-^-./)^r=/(x-+-//;-/(x , il viendra

rf/.

en posant

La formule (i) conduit à celle de Taylor quand les conditions relatives à la continuité sont remplies et que le reste Rn tend vers zéro à mesure que n augmente. La

s. — - Cale, ine, y

98 CILCUL INTÉGRAL.

formule (2) donne une expression de Kn cfuî est souvent utile, et l'on peut en déduire celle que nous avons établie au n° 106. Eflectivement, on .tire de la formule (2) (n« 463)

—^ dt= = U,

U étant une quantité comprise entre la plus grande et la plus petite des valeurs que prend /""(x H- A — t) quand* f varie de o k h. La dérivée dont il s'agit étant continue, elle prendra la valeur U pour une valeur (i — 9) A de t, comprise entre o et A; on a donc

De l'intégration par séries.

473. Théorème I. — Soit Uq -;- Wj -f- m^ -{- . . . une serie dont les termes sont des Jonctions continues d'une variable X. Supposons la série convergente pour toutes les valeurs de x comprises entre x^ eï X , appelons /{x) la somme de la série et r^ la valeur du reste en s arrêtant au n^^^^ terme; supposons en outre que Von puisse trouver un nombre tel, que pour toute valeur de n supérieure à ce nombre le reste r„ soit moindre quun nombre quelconque t donné à l'avance , la série

J\ Uf^flx H- I u^dx H- / u^dx ~|- . . .

sera aussi convergente pour les valeurs de x comprises entre Xo ef X; en outre ^ elle aura pour somme l'inté-

grale I /{x)dx.