CHAPITRE II. gg

Elu eflet, x étant comprise entre Xq et X, posons

(i) /(j?) = ao^-«i-+- «i-i- . -.-»-«„-,-+- r„;

on aura

or on a (d? 463)

•'xo

Pi, étant une quantité comprise entre la plus petite et la plus grande des valeurs que prend r^ quand x varie de Xo à X; d'ailleurs rn s'annule par hypothèse pour n = 00 : donc la même chose a lieu à l'égard de p», et l'on a conséquemment

lira I r^iix = o pour n = oo ;

(3) / /{x)dx=z j tt^dx -^ j Uidx-h I iijrfx -+-...,

ce qui démontre la proposition énoncée.

474. Théorème IL — Soit Mo + "i H- "i -f- • • • ^^^ série dont les termes sont des Jonctions d'une variable Xy continues de x=:Xo à a: = X, et qui consierge vers une limite déterminée f[x). Si la série

duQ dui du^

dx dx dx

remplit les conditions du théorètne 1, elle a pour somme

lOO CALCUL IHTÉGRAL.

En effet, la série -j^ H- — ^ 4- • . • étant supposée convergente, désignons par F(x) la somme vers laquelle elle converge ; on aura

^ ' dx dx dx d*où, par le théorème précédent,

ou , en désignant par u}^^ la valeur de Unj pour a: = Xo ,

¥[x)dx ^--{uo- «S) -f- [u, - <^) +. . . .

Or la série w© 4- w< -I- M2 -[-• . . converge vers la limite f{x); on a donc

F{x)dx=/[x] -î-const.,

et, en difi<érentiant,

F(x)=/'(x), ce qui démontre le théorème énoncé.

475. Le théorème I donne le moyen d'exprimer par des séries les intégrales des diffiérentielles.

Supposons d'abord que la fonction y(j:) soit développable en série convergente, par la formule de M aclaurin, pour les valeurs de x comprises entre o et X; on aura

/W-/Io; + y/'(o)+ ^/''(o)+....

ghapithe II. TOI

Si l'on multiplie les deux membres de cette formule par dx et qu'on l'intègre ensuite entre les limites o et x, on aura, par le précédent théorème^

ce qui n'est autre chose que la formule de Maclaurin

elle-même appliquée à la fonction / f[x)dx.

Généralement, si une fonction y*( a:) n'est définie que par son développement en série, de manière que Ton ait

non-seulement on aura (n° 473)

, en outre, f J[x)dx sera, en même temps que

f(x), fonction continue de x. Cela résulte de la proposition suivante :

Si une série, ordonnée par rapport aux puissances entières et ascendantes d'une variable réelle ou imaginaire Zy est convergente pour toutes les valeurs de z dont le module n'est pas supérieur à R, elle a pour somme une fonction de z qui est continue pour les mêmes valeurs de z.

En eifet, désignons pary(z) la somme de la série convergente

par 9/1(3) la somme des n premiers termes et par ^«(2)

lOa CALCUL INTÉG11A.L.

le reste. On peut assigner une valeur de n telle, que pour cette valeur et pour les valeurs plus grandes le module de ^n (^) reste inférieur à une quantité donnée A", Il suffit pour cela de prendre n tel que

a„ étant le module de an et R' une valeur quelconque inférieure à R; cette condition peut être remplie, car la série proposée étant convergente quand mod.z=R, les modules de ses termes forment une série convergente quand on a mod. ^ <^ R.

Pour tout module p<[R', on aura, à plus forte raison,

et, comme le module de ^n{^) est plus petit que cette somme, il sera moindre que A^.

Cela posé, soient zetz+h deux valeurs de la variable ayant des modules compris entre zéro et R'. On a

ie polynôme <f„ (z) étant une fonction continue de z, on peut supposer le module de h assez petit pour que le module de (f„(z +h) — 9«(^) soit inférieur à l\ D'ailleurs les modules de ^n{^-hh),\^n{^) sont eux-mêmes inférieurs à k ; par conséquent, le module de

sera inférieur k3k; ce module est donc infiniment petit en même temps que le module de A ; en d'autres termes, la fonctiony(z) est continue.

Ce théorème, dont nous empruntons la démonstration à MM. Briot et Bouquet, nous servira plus loin pour

CHAPITKE II. Xo3

établir, d'après ces géomètres , une importante pro« priété.