Exemples. — i^ On a, par la division

et la série du second membre est convergente pour les valeurs de x comprises entre — i et + i ; en multipliant par dx et intégrant à partir de a: = o, on aura

JT* j:* jf'

arctangx=r x -+- -= h. . .

pour toutes les valeurs de x comprises entre — i et -+- 1. Cette formule subsiste même pour j: = =ii i (n® 121), car la série du second membre reste convergente ; on a ainsi

ir * I I I

a® On a par la formule du binôme, pour toutes les valeurs de x comprises entre — i et -f- 1 ,

= I H OT" H 7 X* H r—i X*

multipliant par dx et intégrant ensuite à partir de X = G, il vient

arc sinx = x h — ~ H 7 ..- ^ >-— = h . . . ,

formule qui subsiste pour les valeurs de x comprises entre — i et + i, et même pour j: = db i . En y faisant X = i , on a

ir I I " 1 .3 I 1 .3.5 i

477. Il arrive souvent qu'une fonctiony(x) est développable de plusieurs manières en série convergente; on doit alors choisir le développement le mieux approprié à la question que Ton traite. Considérons , par exemple, l'intégrale elliptique de première espèce

sj \ — X' V I — i^^ X

OÙ les radicaux sont pris positivement, et où Xr désigne un nombre inférieur à l'unité. On a, par la formule du binôme,

dx ,

multipliant par — ^^'-- et intégrant ensuite à partir de

a: =1^ G, il viendra