Une intégrale définie
dans laquelle les limites Xq et X sont regardées comme variables, est une fonction de ces limites. Il est évident qu'on peut écrire
« == r /( X ) dX, ou u -11 — r /(.ro) cTj-o,
car la notation par laquelle on désigne la variable sous le signe / est indifférente. On voit alors que les différentielles partielles de u relatives à X et j7o sont respectivement
Si donc on considère u comme fonction des seules variables X et Xoy on aura
(,) ^i/=/{X)rfX-/(^o)^J^o,
et cette formule s'applique au cas où X et x^ sont deux variables indépendantes et à celui où X et Xo sont des fonctions d'une ou de plusieurs autres variables.
Si la fonctiony(.r) renferme des quantités «, 6, . . ., regardées comme variables, il faudra ajouter au second membre de la formule (i) les différentielles partielles
Io6 CALCUL INTCaRAL.
relatives à ces variables, et Ton aura
il nous reste à indiquer la manière d*obtenir chacune des dérivées partielles — ? ^-j •••» qui doivent être prises comme si Xq et X étaient indépendantes des variables
CCf Oy • • • •
Différentiation sous le signe j , 479. Considérons l'intégrale
et supposons que la fonction y(x) renferme une quantité a regardée comme variable. Nous nous proposons
de chercher la dérivée -r-i et, d'après ce qui précède,
CD doit supposer les limites Xo etX indépendantes de a. Pour mettre en évidence la variable a, représentons
parF(a:), F'(a) la fonction f{x) et sa dérivée -^-"
Donnons à a Taccroissement A a et désignons par Au Faccroissement correspondant de u ; on aura
^«*= Ç F(a-hAa)i/jr— T F(a)rfx = ç [F{a + Aa)-F(a)]r/^.
Or, si la fonction/ ( j:) ou F («) reste continue entre les limites de l'intégration, on a (n® 14)
F(a 4- Aa) — F(a] == AaF(a -f- ÔAa),
chapithb II. 107
6 étant une quantité comprise entre o et i; on a, par conséquent^ dans cette hypothèse ,
0Aa) Jx,
et, en passant à la limite, il vient, pour Aa = Oy
ffx OU
t=lj-i^^
àu r^ô/H^^
du r
OOL
exécutant la différentiation relative à a sous
Si donc la fonctiony(a:) reste finie entre les limites de l'intégration, on obtiendra la différentielle -v- don. en
le signe 1 •
Mais il faut bien remarquer que cette règle peut être en défaut si, contrairement à notre hypothèse, la fonction f{x) devient infinie entre les limites Xo et X.
480. Il peut arriver que Ton ait besoin de différentier une intégrale indéfinie par rapport à une variable différente de celle à laquelle se rapporte l'intégration; ce cas se ramène immédiatement au précédent. Soit, en effet,
l'intégrale indéfinie \f[x)dx\ on peut écrire
Çf[x)dxz=z C f{x)dr-^C;
soit oc l'une des variables dont dépend y*(x), on aura djf[x]dx r' df[.T) dC
dot, J 0<A Ou
Io8 CALCUL INTÉGRAL*
maïs, C étant une constante arbitraire relativement à x^ il en est de même de -r- ; on a donc
ÔOL J à^ '
Intégration sous le signe j • 481. Considérons l'intégrale définie
oùy( x, &) désigne une fonction des variables x et a, et dans laquelle les limites oto? X sont indépendantes de a. La quantité u dépend de Xoy de X et de (x; mais nous la regarderons spécialement comme fonction de a. Posons d'abord
la limite inférieure a^ étant une quantité déterminée quelconque, puis
^^= \ F(jr, QL)dx»
D'après ce qu'on a vu au numéro précédent, si la fonction F(j7, a) reste continue entre les limites de rintégration, on aura
ou
j^^r ^^±^dx^ç f[x,a)dx
