CHAPITRE II
ety puisque t^ s*annule pour a = ao9 on aura
c'est-à-dIre
f [ f /[a:,a)dx'\da:=f ïf/{a:,a)do^da:.
Cette formule exprime la propcsition suivante : Pour intégrer entre les limites a©, « le produit de tintégrale j f{xj ai)dx par da, il suffit de multiplier
sous le signe 1 par doL et d'intégrer ensuite le produit entre les limites a^, a.
Mais, nous devons le répéter^ cela suppose que la (onction 1 f{x, ol) da reste continue entre les limites
JCqj j\. Cle ûCm
On peut encore exprimer la même proposition en disant que
Si l'on propose d'intégrer la différentielle
/"(x, a) dxdof.
entre les limites respectives jOojTi^etaoya, on peut offec^ tuer les intégrations dans un ordre quelconque, pourvu que les limites de chaque variable a et x soient indépendantes de l'autre variable.
On verra plus loin l'interprétation géométrique du résultat que nous venons d^ob tenir.
IXO CALCUL UfTÉGRAL.
De l'intégration des différentielles qui dépendent de plusieurs variables indépendantes.
482. L'intégration des différentielles qui dépendent de plusieurs variables se ramène facilement, comme on va le voir, à l'intégration des différentielles d'une seule variable, en faisant usage du théorème du n^ 479.
Toute fonction de plusieurs variables indépendantes .Xy jj Zy . , .j Uj V di une différentielle de la forme
(i) X^o; + Ydy -4- Zr/z 4- . . . + Hdu -f- Vc/ti,
X, Y, . . . , U, V étant des fonctions des variables x, /, z, . . ,y u, V. Mais la réciproque n'a pas lieu, et, pour que l'expression précédente soit la différentielle d'une fonction des variables x, j-, z, . . . , u, \f, ou, comme on dit aussi, soit une différentielle exacte, il est nécessaire que certaines conditions soient remplies. En eflet, si l'expression (i) est la différentielle d'une fonction fî, on aura
dci à£i àa ^^ TT ^^ TT
ox ôf oz du du
considérons deux quelconques de ces équations, par exemple
en différentiant la première par rapport à ^ et la seconde par rapport à Xy on aura
d*n • dX d^a __ dY dxdjr dy ' ôxOx dx^
et, par conséquent,
àX dY dy dx
