CHAPITRE II. III

On conclut de là que, si Texpression (i) est une différentielle exacte, on a nécessairement

djr ox

d\ dZ âz àx

dX dY

âY âZ

ÔY dY

o^U dY ôv du

Le nombre des conditions (2) est égal au nombre des combinaisons des variables x, j-j z, ... deux à deux; lorsqu'il n'y a que deux variables indépendantes x eijy l'expression ( 1 ) est

Xcix-{-Ydx,

et les conditions (a) se réduisent à une seule

d^àY ôy dx

483. Nous allons démontrer que, réciproquement, lorsque les conditions (a) sont remplies, il existe une fonction il des variables indépendantes Xy y^ z, • . . , u, (^, telle que

(3) d£i= Xcjtr -f- Ydjr -1- Z Jz H- . . . H- Vdu -\- Ydv.

L'expression générale de toutes les fonctions ù qui admettent X pour dérivée partielle par rapport à x est

ftrzr / Xf/jr-;-nj,

Qi désignant une fonction quelconque des variables j^, Zf • . . ; li, f/, mais ne renfermant pas x»

Il faut déterminer Of de façon que

da àa ^^ tt ^^ -m

ôx oz du dv

Or on a, d'après le théorème du n° 479,

àjr^J^^ àx

et, en substituant à -î— la fonction identique — j

Y< désignant la fonction Y dans laquelle on a remplacé a: par Xo. Ainsi, pour que -^r- se réduise à Y, il faut et il

suffit que Ton ait -p-* = Y| . La fonction û, définie par

la formule (4), vérifiera, dans l'équation (3), si la fonction û,, qui ne dépend que des variables j^, z, ..., m, j/, vérifie elle-même l'équation

(5) ûttli -^ Yi^r + Zi^3 -h ... H- U^dti H- V,^f,

Y4, Zo . . . , U|, Vf désignant les valeurs que prennent Y, Z, . . . , U, V pour X = Xq,

Opérant sur la formule (5) comme nous avons fait à l'égard de la formule (i), on trouve

avec

da^ r= Z, ^3 -:-... -}- V^du -h V, dv,

Z2, . . ., U2, Va étant les valeurs que prennent Z, . . ., U, V quand on fait x =Xoy jr ==j)'o«

U est évident qu'en continuant ainsi on obtiendra