CHAPITRE II. Il
l'expression suivante de la fonction demandée 0 :
n r= jX^Ix + ^ Y, <r + r Z,f/j ^- . . , 16) { •''• ^^' '•
en désignant par n le nombre des variables et en convenant que chaque indice i dont les lettres Y, Z, ..., U, V sont affectées indique qu'il faut remplacer les i premières des variables x, j^, z, . . . , a, ^^ par les valeurs correspondantes Xo, j^o> ^o> • • •> "o- La lettre G représente une quantité quelconque indépendante des variables X, y, Zf ..., M, {f.
Considérons, par exemple, le cas de deux variables X et J'y et soit
(6) f{x, jr)dx'+- ^{x,x)^X
la différentielle donnée. L'intégrale, prise de manière qu'elle s'annule pour x = Xo9 j=jof aura pour valeur
(7) / ^[jo.yyii: -hj ^(xo,j)<>-.
jf« ^ yo
484. La recherche de l'intégrale d'une différentielle qui renferme n variables indépendantes se ramène , comme on voit, à un nombre n d'intégrations qui se rapportent respectivement aux n variables ; il est évident que ces intégrations peuvent être effectuées dans un ordre quelconque, et cette remarque n'est pas sans importance. Ainsi, l'intégrale de la différentielle (6) est représentée par l'expression (7), mais elle peut l'être aussi par l'expression
(8) / •M*>r)'^r4- r ^[^yXo)^^f
S. — 6'û/c. itit^ 3
It4 calcul inTÉGRAL.
qui s'annule comme la première pour ar = Xo, y=^yQ' En égalant ces deux expressions entre elles, on a
J/lX /»x riy r^y
' ff[x,y)dX'^\ f^[x,y^)dxz=z\ ^[x, y)dy -- \ ^{x^^ y)dy^ *% *^'o *^y% •^ro
ou
( 9 ) / [V (•^» ^) — 7 1-*^' ^o)] dx=\ [^ (:r , ^) — 4» (4?o, r )] ^J,
formule qui a lieu pour deux fonctions ^[x^y]^ ^(•^>^) assujetties à la seule condition
i'^^ '-dr"~~ô-x —
Intégration des différentielles dans le cas des variables imaginaires.
485. Pour compléter la théorie de l'intégration des difTérentiellcs, il nous reste à examiner le cas des variables imaginaires. Soient z^=x^y\j — i une variable imaginaire et
f[z)z=ff[x,y) ^sj^i^[x,y)
une fonction donnée de cette variable, ç(x, y) et ^{x,y) désignant des fonctions réelles des variables réelles Xj y. Silafonctiony(z) a une dérivée déterminée, on a (n^'STT)
d^[x, y) __ d']f[x,y) dq>(.r, r) à'^[.r,r] ôx ôy ôy Ox
ce qui montre que les expressions
tf{x,y)dx — ^{x,y)dy et ^{-r, y]dx -h <f{x, y)dy
sont des différentielles exactes. Si Ton fait la somme de
