CHAPITRE II. Il

ces expressions, après avoir multiplié la seconde par ^ — I , on trouve pour résultat

d'où il suit c^\xef[z)dz est la différentielle d'une fonction des variables x etj^. On a donc cette proposition :

Théorème. — La différentielle f[z)dz admet une intégrale lorsque z est imaginaire comme lorsque z est réel.

Les conditions pour que l'expression

soit une différentielle exacte, dans le cas où Xj y^ z, ... désignent des variables imaginaires, sont évidemment les mêmes que dans le cas des variables réelles , et la règle que nous avons exposée au n^ 483 est applicable à tous les cas.

486. Exemple I. — Supposons que l'on demande l'intégrale de la différentielle

X ar'

dû. = ; rz dx ; 7^ djT.

On a ici

X= = «- h TiJ

f Y,e(r = -log7-4-|^-^^, -f-log(xo-r)

"*■ ^"^^^ " Ix ^r )' "" ^""^ ^'"'' "•^*^''

\Xo JQJ

Il6 CALCUL IMTÉGRAL.

d'où

ou, simplement,

n = log ^ ■ 1- G,

C désignant une constante quelconque.

487. Exemple II. — Supposons, en second Heu, que Ton demande l'intégrale de la différentielle

d£i-=^[y '\-z)dx -^ (s H- x) ^ -}- [x + y) dz.

On a ici

I X dx = [y -^ z)x ^ [y -^ z)xc.

•'yo / Z, f^/ = f.ro + ro) « — (-^0 -*-ro^ «oî

d'où

OU, plus simplement,

a = yz -^ zx -^ xy '■\- Cf

C désignant une constante arbitraire.