CHAPITRE II

Détermination des valeurs de quelques intégrales

déjinies,

488. II existe un grand nombre d'intégrales définies qui se rencontrent fréquemment dans les applications de l'Analyse, et dont les valeurs peuvent être déterminées sans recourir à l'emploi des séries. Nous allons faire connaître ici les divers procédés que l'on peut employer dans les recherches de cette nature.

Remarquons d'abord que l'intégrale définie

f[T)dx

s'obtiendra immédiatement toutes les fois que l'on saura exprimer l'intégrale indéfinie de la différentielle y*(j:)^/j:, par le moyen des fonctions connues, puisque, en désignant par F(a:) -f- const. cette intégrale, on a

Il convient de présenter quelques exemples de ce premier procédé.

1° On a

x"* dx =r h const., I e-'^dx = \- const. ,

/dx i X r dx , X

-^ r = - arc tang - -f- const., I ~ arc sm - -h const., ar-rfl' a ^a Jyja^ — x^ ^

et l'on en conclut, en supposant fl ^o,

l / x'^dx= 9 /

- . ^^aoo^hx — bsxnbx

e-^' cosoxdx=-- e~** r z-i ^ ronst.,

„^ . - , ^^asinbx-h b cosbj:

e-^^ smàxdx =:— <?-«* h const.,

Il8 CALCUL INTÉGBÀL.

a*» On a (n» 450) et l'on en conclut, en supposant a^o,

3** Nous avons fait connaître au n° 456 la valeur de Tintégrale / siDP^xdx pour le cas où m est un entier positif, pair ou impair. Si l'on prend cette intégrale entre les limites o et -9 on aura les formules suivantes ;

//\ /**••- j 1.3.5. ..(2/1 — il ir (4) / 8ia**xdxi= T-rr-i -j

e"^^ cosbx €ix =: -r —j

g^ax ànbxdxz=:

(5) r "sin^-^i xdx = — ^'^'^'"^^ .

Jj, 3.5.7. ..(2/1-M)

U faut remarquer que ces intégrales se changent en

/ cos^'^xdx, I cos"»-*-*a?^/x,

respectivement) quand on change o: en x, et qu'elles

deviennent

o y/l — a:* Jq ^1 __ j;»

quand on change sino: en o:, rfx en - 1.