CHAPITRE TI. TI

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/'• « „ , sin'"-*-*arcos'*-*a: '* — iT- « »•.

sin*" X cos" xflx== 1 I sm'" x ces'*"' r d!r. m -f- « niH-n J

Supposons m et n entiers positifs et /z ^ i ; en prenant les intégrales entre les limites zéro et -9 on aura

/ sin'^.r cos"arr/jF=r / sin'"a7COs'*~*4?</r.

Remplaçons successivement n par an et par an+ i> la lettre n désignant toujours un entier ; on aura, par la formule précédente ,

Je* • nt •» j . 1.3. . .(9/1 — i] r* . « ,

Jr*"» 24^/1 /*"

l'intégrale de la différentielle sin'^xcosx dx est

/w -i- I on a donc

-+• const. ;

5in"*a? CO8X elx = 1

et, par conséquent, la seconde des intégrales précédentes a pour valeur

(6) / sin'"a?co8**+*«iir= ; j 'j[''' :.

Jq (/»-+- i)(/n-î- 3).. .(w-^ 2/14- iJ

I20. CALCUL lATÉGRAL.

Quant à l'autre intégrale, si Ton écrit am au Heu de /w, 'on aura, par la formule (4)9

7 / sin""xcos*'*a:<Zr= —7—^ — —, ^^ --"5

il faut remarquer que l'intégrale de la formule (6) devient

I sin*""*"* X cos'" X dx

par le changement de j: en a:.

' où p est un nombre positif inférieur à i, a une valeur finie; cette intégrale, étudiée par Euler, joue un rôle important dans la théorie des intégrales définies; elle peut être obtenue, comme on va le voir, par la simple considération des difi'érenliellcs rationnelles.

Désignons par m et n deux entiers positifs tels que m<^n et décomposons en fractions simples la fraction rationnelle

nz^"^

Si l'on pose

les racines de l'équation 1 -f- z*" = o seront représentées

par la formule e*'k^~S où l'on devra donner à A' les valeurs©, 1,2, ...,(/z — i),etlasommeTjtdesdeuxfractions

simples qui répondent aux racines conjuguées e"*^»*^""*,

CnAPtTHlî TI. 121

e"^»*^""* sera

2 [ z — e%>l-^ z — e-îW^ J

— ( 3 — cos^jjt) cos ( 5t /7I -h 1 ) y/.- -4- sin y;^ sln ( ^ m -H ] o;^

(« — COS^jt)*-*- Sin*y;t

Si l'on intègre la différentielle Tjçdz entre les limites z = — Z et z = + Z, il viendra

''rp 7 I / , ^ ^ (Z— COS(p;t)«4-8in*yA

35 - (Z -f- COS f/c) * + sin* ?A

. , . r Z — cosfji. ^ Z-!-cosy;fcl -i-sm(2m-hi ©jtl arctang — . ^^H-arctang — . ;

faisons tendre Z vers l'infini, le logarithme de la formule précédente s'annulera à la limite, et les deux arcs de

cercle se réduiront chacun à - •> parce que ça est <^7:. On a donc

lim / 7 j^ dz =z it sïn [^ m -{- i) y/ ,

et, si l'on fait

im -î- I