TT
on aura ^
(2/w-!-l)y;fc = (2A: H-i)a, lim 1 Tj^fiz=^ntln{iik -\'i]a.
Maintenant on a
——Tn — "^o + Ti -f-T, ^-...^-T;» i; donc
nz*"*dz r . • o . . • / ,^ 1
= ir[siaa H- 8m3a -h. . .-i-sm(2/i — ijaj.
laS CALCUL INTfenÀL.
Si l'on multiplie par 2 sma la somme entre crochets qui est contenue dans cette formule, on obtient un produit égal à
(1— co82a) -+- (cos2a-- cos4a) -4-. . .-h[cos{in — 2)« — cosa/ia],
c'est-à-dire égal à
à cause de2na = (2m-{-i)7r. Ainsi l'on a, en remettant pour a sa valeur,
/ — dz= "^
•^-* 8m( tt]
L'intégrale dont nous venons de trouver la valeur est la somme des deux suivantes :
z^'^dz
et celles-ci sontégales entre elles, car leurs éléments sont égaux chacun à chacun. On peut donc, dans notre formule, faire commencer l'intégration à zéro, pourvu qu'on double l'intégrale. Ainsi l'on a
z"" dz ir
sm 1 ir 1
La variable z restant maintenant positive, faisons la substitution
z = X*", in dz = or^" </.r,
et posons
cHÀPiTUE n» i:i3
la formule précédente deviendra
(8) rf^ii^^.ji,
ce qui est le résultat que nous voulions obtenir.
La formule (8) a été établie dans l'hypothèse où le
nombre /3, compris entre zéro et i, a la forme »
m ex. n étant entiers. Mais les deux membres de cette formule sont évidemment des fonctions continues de /7, et il s'ensuit que celle-ci a lieu pour toutes les valeurs de/7 comprises entre zéro et i , car on peut toujours former une suite indéfinie de fractions rationnelles ayant la
forme et qui tendent vers une limite égale à p.
490. On peut suivre une marche analogue pour déterminer rintégrale
où p désigne encore un nombre compris entre zéro et i. Si l'on change j: en -> rfx en ^j les limites de Tinté-
grale deviendront oo et i ; mais on peut permuter ces limites en changeant le signe de l'intégrale, ce qui donnera
donc, en ajoutant cette formule à la précédente, on aura
\ — — — ax-{- I ax,
tix;
oa
dx.
194 CALCUL IHTÉGRÀL.
Supposons que p soit un nombre rationnel de la forme
in
metn étant des entiers. Si Ton emploie la substitution
a- =r^ z"*, dx :^in z"*— * dZf
il viendra
la quantité qui multiplie dz sous le signe I est une fonction rationnelle dont les deux termes sont de degré pair, car 2,np est, par hypothèse, un nombre entier impair. Il s'ensuit qu'on peut faire commencer l'intégrale à — co , pourvu qu'on ne prenne que la moitié du résultat; ainsi l'on aura
dz.
Les valeurs de z qui rendent infinie la fonction ration nelle qui multiplie dz sont
? " =cos — ±v — I sm —
le nombre k ayant les valeurs i, a, 3, ...,(« — i). Si l'on nomme T;t la somme des deux fractions rationnelles qui répondent aux racines conjuguées représentées par l'équation précédente, on trouvera
sm —
( Z — ces — 1 -h sm' — \ 'U «
