Z — COS

kn kiz

si Ton pose z — cos — = t sin — » Tintégrale du second

membre de cette formule deviendra / ^^ et, par

suite, elle est égale à — h - ou à tt. On a donc

I f taz=r::r Sinirp7r=::r: . •

J 2 sm/?7r

Donnons maintenant à k les valeurs 1,2, . . . , (/z — 1) ; ajoutons les résultats, et remarquons que

cos (2/1 — l)/?îf ^^ — C0S/>7r,

parce que 2 np est un nombre entier impair ; on aura

di nr 7rcoty>ir,

formule qui subsiste pour toutes les valeurs de p comprises entre o et 1 .

Sur quelques conséquences des formules précédentes,

491. Le résultat que nous venons d^obtcnir conduit facilement à la formule qui exprime le développement des tangentes en une série de fractions simples.

Effectivement, si l'on réduit la fonction ■ —

Ia6 calcul INTÉGRAL.

en série y par la division algébrique, on aura

multipliant par dx et intégrant ensuite de o à i, il vîent

r ■'îz'-.^^J'f (-1 L

J I — X ^ \m -hp m -4- I ■

m=io

on a donc, par la formule (9) du numéro précédent,

ncotPn= I — ( 1 — ....

P \^ ^P ^-^PJ V-^^P i-^2pj

et, en posant successivement pn = j: et = x,

X \7r — X 7rH-.r/ \27r — x 27r4-a:/ *

COt^r

tango:

p étant compris entre o et 1, notre analyse suppose que, dans les formules précédentes, x soit compris entre o et 7;

ou entre et -; mais, comme les deux membres de

chaque formule admettent évidemmeot la période 7r,

celles-ci ont lieu, quel que soit x.

A cause de

coséc JT = -: — = - tang - x h — cet - a:, smor 2 ^2 2 2

les formules précédentes donnent

cosécx = - -+-( ) — ( ; -*-...,

X \7r — X ir-hx/ \27r — x 2 3rH-a^