Reprenons la formule

que nous venons de considérer ; multiplions-la par doi et intégrons ensuite dea = i à a=ia; comme on a

il viendra

/• ^— 6« ^— ox ^ ^^ = log-,

et, en faisant b = i^

(5) J ^ dx = \iyQa.

Noos avons trouvé (n^ 488), en supposant oc^o,

/ e-^smbxdx^z^ r=»

Maltiplions ces deux formules par da et intégrons en- S. ^ C7ii/0. int. y

er*^ cosbxdxz=z ~y

l3o CALCUL UVTÉGUAL.

suite de a =fèi az=: g; il viendra

cosbxdx = - log ^5 7^>

sin^x^ = arc tang ^ — arc tang t»

/et g^ étant des quantités positives quelconques.

Supposons que b soit positif dans la formule (7) ; alors, si l'on fait y = o, g = 00 , le second membre de cette

formule se réduira à - ? et l'on aura

il est évident que, si b est négatif, la valeur de l'intégrale sera •

495. La formule précédente a une très-grande importance en raison du parti que les géomètres ont su en tirer dans des recherches difficiles. Si l'on y remplace b par a-hb, puis par a — i, en supposant a et 6 positifs et a ^ i, il viendra

Jr**sin(a-f-^]x Tf /?* sin(a— ^)4r ir

En ajoutant ces deux formules et en les retranchant ensuite Tune de l'autre, on trouve

Jf** sinflr.rcos^a: ir /** sin^.r cosûjc , I djc= -j I dx = o.

Or ces deux intégrales se déduisent l'une de l'autre par la permutation des lettres aetb; on a donc

cos bx

dx = i ou =0*