CHAPITRE II* l

on aura évidemment

A = 2 / er^^dx.

Si Ton fait

et étant une constante, il viendra

Ar=2 / e-'^^^^adt, et, en multipliant par 2e~**rfa,

Intégrons maintenant les deux membres de cette formule par rapport à a, depuis a = o jusqu'à a = oo ; on aura dans le premier membre

/•ce

A / er-**da ou A*;

à regard du second membre, l'intégration relative à a peut être exécutée sous le signe / » et, comme Tintégrale indéfinie de la différentielle 2e~*'''"^*''ada est

j--f-const., le résultat de l'intégration sera

2 / 5 = a - = TT. Ainsi l'on a

A* = ff, et, par conséquent,

(il) / e-*Vx=^.

498. En partant de cette dernière intégrale, on peut en obtenir d'autres qu'il convient de signaler. Par exemple,

l34 CALCUL XHTÉGIIAL.

sî a désigne une quantité positive, et que l'on remplace X par X y^y dx par dx ^, il viendra

£n différentiant cette dernière équation n fois de suite par rapport à a, on aura

et, en faisant a = i ,

, o\ r^* ri in F ,- 1.3.5. . .fa/f — i)

Si Ton désigne par a une quantité réelle positive ou négative, et que Ton remplace x par x±a dans la formule (ii), les limites de l'intégration resteront les inémes, et Ton aura

remplaçant le signe ambigu du premier membre d'abord par -4-, puis par — , et faisant la demi-somme des résultats, on aura

"*" ' ^ c'^ax j ^-\ax

<?-*• dx = V7f<?«»;

ou, en changeant x en mx et a en — 9

îna: i «— î/ix

tf-"'"'' : «ir r= -^ «?"",

formule qui suppose essentiellement m positif.