CHAPITRE II. z

Sur le passage des quantités réelles aux imaginaires.

499. Lorsque deux fonctions sont égales entre elles pour toutes les valeurs réelles de la variable, et qu^elles sont toutes deuxdéveloppables en des séries convergentes ordonnées suivantles puissances entières de cette variable, les coefiicients des mêmes puissances sont égaux entre eux dans les deux développements ; si donc les séries demeurent convergentes quand on suppose la variable imaginaire, Fégalité des deux fonctions subsistera nécessairement. Cette considération permet d'obtenir les valeurs d'un certain nombre d'intégrales définies nouvelles.

Reportons-nous, par exemple, à la formule (i4) du n^498. Il est évident que les deux membres de cette formule sont développables en des séries convergentes ordonnées suivant les puissances entières de 77, et que cette convergence ne sera point altérée si Ton remplace

n par n ^ — i ; on aura donc

sf^ r\

"'*''* COS2 nxdx=z^^e "*'

on peut faire commencer l'intégrale à zéro, pourvu qu'on divise le second membre par a, et Ton a ainsi

€-«•'* cosa/i«d:r=l^c "",

am

Pour donner un nouvel exemple, reprenons la formule (12) du n® 498, où a désigne une quantité positive ; en y remplaçant ^ par m (i -h a), il vient

l36 CALCUL INTÉGKAL.

les deux membres de cette formule sont développables en séries convergentes ordonnées suivant les puissances entières de «, pour toutes les valeurs réelles de a comprises entre — i et 4- 1 ; en outre, ces séries demeurent évidemment convergentes quand a désigne une quantité imaginaire de module inférieur à i ; donc la formule précédente subsistera dans la même hypothèse. Soit a=jD yj—ïf p étant réel et inférieur à i ; on aura

^-(l-ç«-»-îj^-l)m«a:«^j. __

v/tt

(i-~Pv/-~i)v^,

égalons entre elles les parties réelles et les parties imaginaires, il viendra

OU, en posant (i — p^)m^z=(i^ 2pm^ = v,

ces formules supposent f* ]> o.

Formule de Cauchj.

500. Soient z = pe"^^ une variable imaginaire, et f{z) une fonction de cette variable qui reste continue

ghapithe II. i3j

et qui ait une dérivée déterminée pour toutes les valeurs de z dont le module n'est pas supérieur à une quantité donnée R. On a

et, par suite,

f[z) dz=(p (p, «) dp H- ^ (p, »)</w, en faisant, pour abréger,

On a vu (n** 485) que cette expression àef[z)dz est la différentielle exacte d'une fonction des deux variables indépendantes |0 et cd; on a donc (n° 484), en désignant par po et a)o des valeurs initiales quelconques de p et de eu,

/ U(p,ca) — 9>(p,Wo)Up=/ hKp, «)— +(po, «) k«-

Nous prendrons jOo = o et nous écrirons a au lieu de o>o; en outre, comme la fonction y*(z) reste continue pour les valeurs de z dont le module ne surpasse pas R, les intégrales de la formule précédente auront des valeurs finies si Ton fait p = R, a)= a 4- 27r. Mais notre hypothèse relative à la continuité dey(^) implique la condition que cette fonction ait la même valeur pour a) = aetc«) = a-ha7r, p restant le même. Il s'ensuit que le premier membre de notre égalité est nul ; d'ailleurs, la fonction t{/ (/9, b>) étant nulle pour p = o, puisquey^(z) ne peut être infinie, on aura simplement

an-h»

i38 CALCUL imtégual.

ou

ou encore

/a «-Ht Z/(Z)rf»=rro,

Z désignant la valeur

La formule (i) ne diffère que dans la forme de celle que nous avons établie au n° 382, et l'analyse qui nous y a conduit est au fond la même que celle dont nous avons fait usage au numéro cité. Si l'on désigne encore ici par F(z) une fonction qui reste continue et qui ait une dérivée déterminée pour les valeurs de z dont le module n'est pas supérieur à R^ par x une constante réelle ou imaginaire dont le module soit également compris entre o et R, on pourra supposer

dans la formule (i) (n° 382), et celle-ci deviendra

^ a OU

,a«+ci r» /iic + a

mais on a

Z X x^ x^-^ xf-

— 1 Tsi «7 . ^ 7

Z — ar Z Z> Zi*-* Z«* Z

d'ailleurs on a, si m n'est pas nul,