CHAPITRE II. iSl

C étant la constante arbitraire.. Si Ton pose

a = tx^ doL = xdt^ elle deviendra

oQy en faisant sortir x^ du signe / »

jt»

Considérons encore l'intégrale elliptique de première espèce

Ç' dx r' d9,

en faisant, comme dans l'exemple précédent|

0^=1 tXj da=2 xdty

elle deviendra

Jr xdt

iSi/r fe* ^valeurs multiples que peuvent ayolr les intégrales prises entre deux limites déterminées*

tS09. Nous avons démontré au n^ 466 que Ton a

f /(x)dx=: f '/{x)dx^ f /(x)^4....H- f f[x)dr,

quelles que soient les quantités x^jX^^...^ Xn^\ y pourvu cependant que la fonction/(x) reste continue quand x varie entre les limites de chaque intégration. Cette for-

iSa CILCVL IBTÉGItiL.

mule exprime que l'inlégrale

a la m^me valeur, quelle que soît la manière dont on fait varier x, pour l'amener de la valeur initiale Xt à la valeur finale X.

Mais cela suppose essentiellement que la fonctiony*(x) reprend la même valeur quand x reprend la même valeur, et, en outre, que cette variable x varie d'une manière continue pour passer de la valeur x^ à la valeur X. Lorsque ces conditions ne sont pas remplies et que l'on passe de X, à X en suivant deux chemins dilîérents, l'intégrale peut avoir des valeurs très-difTérenles.

De là, par exemple, les valeurs multiples des cxpres-

arcsinX, arctangTC, arcsécX, qui ne sont autre chose que les valeurs des intégrales

cesintégralesdépendentnon-seulementdelavaleurdeX, mais aussi de la manière dont x varie pour passer de la limite o à la limite X. Il importe de présenter à ce sujet quelques explications.