Considérons d'abord l'intégrale

dont la limite supérieure X est une quantité quelconque comprise entre — i et -I- 1 . Faisons d'abord varier x, dans le même sens, de o à X ; le radical ^i — x* peut

CHAPITHE II. l53

être pris, au déparl, avec le signe -H ou avec le signe — , à volonté ; mais, comme ce radical ne s'annule pas dans rintervalle de o à X, il faut, pour la continuité, lui maintenir constamment le même signe. Choisissons le signe 4- et supposons, pour fixer les idées, que X soit positif; désignons par a la valeur de notre intégrale ainsi définie, et posons

[rv^h"'

les crochets dont nous faisons usage servant à indiquer que X varie constamment dans le même sens, en passant de la limite o à la limite X. Soit K la valeur que prend a quand on a X = -f- i ; on aura

[Jo V'i-^O ^^'

La variable X ayant crû de o à sa limite supérieure H- i , faisons-la décroître de -H i à o, et prenons, entre ces

limites, l'intégrale de la différentielle — — > savoir:

• Si l'on maintenait au radical ^i — x'^ le

signe +, l'intégrale dont nous parlons aurait pour valeur — K, car ses éléments seraient égaux et de signes contraires aux éléments correspondants delà précédente

intégrale. Mais, le radical y/ 1 — x^ s'étant annulé, il est naturel de changer son signe, et alors on aura

la variable x est redevenue nulle ; supposons qu'elle continue à décroître jusqu'à ce qu'elle atteigne sa limite in-

i54 CALCUL intêghàl.

férieure — i : le radical ^^i — x^ devra garderie signe — , puisqu'il ne s'annule pas, et l'on aura encore

L^o Vi--^*J

car les éléments de cette intégrale et les éléments de la précédente sont égaux chacun à chacun et de même signe.

Mais, pour jr = — i ,1e radical ^i — x'^ s'annule de nouveau, et on doit lui rendre le signe + quand x vient à croître de — i à o ; on aura donc

[Li^h-

et, si l'on fait croître de nouveau x de o à X, on retombera sur la valeur a.

Il résulte de là que si, pour passer de o à X, on fait croître x de o à -4- i , qu'on fasse décroître ensuite cette variable de H- i à — i , et qu'on la fasse croître enfin de — 1 à X, l'intégrale

aura la valeur 4K -h a.

Si, au lieu de procéder comme nous venons de le faire, on fait d'abord décroître x de o à — i , qu'on la fasse croître ensuite de — i à -h i , décroître de -h i à o , cl croître enfin de o à X, on aura, comme il est facile de le voir,

CHAPITRB !!• ' l55

et alors la valeur de notre intégrale sera — 4l^"+~** Dans ce cas, comme dans le précédent, quand x a atteint

la limite X de l'intégration, le radical ^i — x^ a la valeur + ^i — X« .

On voit, d'après cela, que l'intégrale considérée aura

la valeur

4/zK -I- a,

où n désigne un entier positif ou négatif si a:, en variant de o à X, passe par chacune de ses limites -+-1 et — i un nombre de fois égal à la valeur absolue de n.

Supposons que, après avoir atteint un nombre =h: n de fois les limites -h 1 et — i , x ait repris la valeur zéro ; à ce moment faisons-la croître de o à + 1 , Tinlégrale de

la différentielle —T== relative à cet intervalle sera égale

à +K; faisons décroître ensuite or de H- i à o, nous aurons encore une intégrale correspondante égale à -h K,

car dx et yji — x^ sont ici négatifs ; faisons croître en-

fin o: de o à X, le radical ^i — x^ ne s'annulant pas, on doit lui conserver le signe — ; par conséquent, l'intégrale relative à ce nouvel intervalle sera — a.

Donc, si pour passer de o à X la variable x atteint l'une des limites -+- 1 , — i une fois de plus que l'autre limite, la valeur de l'intégrale

Jr dx « \li — x^

sera

et, quand x aura atteint la limite de l'intégration, lava*

leur du radical ^i — x^ sera — ^i — X^ •

Nous avons supposé X positif; mais il est évident que

l56 CALCUL IITTÉGIIÀL.

l'on a

pourvu que les valeurs successives de x variant de o à — X soient respectivement égales et de signes contraires aux valeurs de x variant de o à -+- X. Il résulte de cette analyse que, si Ton pose

•/ o \ll ^**

X et ^i — x^ seront des fonctions bien déterminées de la variable u, et que ces fonctions auront la période 4^^ qui n'est autre cbose que la circonférence 27r. Nous ne retrouvons que des résultats bien connus ; mais il était très-important de montrer comment ces résultats peuvent être tirés de la considération des intégrales.

' — r^rr= se ramène à celle que

0 X six- — I

nous venons d'étudier par le changement de x en -; il

n'y a donc pas lieu de s'en occuper ; mais nous devons considérer l'intégrale

dont la diCférentielle est rationnelle.

Posons

[Xt^']="'

les crochets indiquant, comme précédemment, que x

CHAFITRB II. iSy

varie de o à X, toujours dans le même sens ; soit aussi

[fr^]--

Pour passer de x= o à x = X, on peut faire croître x de o à + ^ f changer le signe de cette variable, la faire croître de nouveau de — oo à o, et la faire varier enfin dans le même sens de o à X; ou bien on peut faire dé* croître x de o à — oo , puis de -f- oo à o, et la faire varier dans le même sens de o à X.

Si Ton fait d*abord croître j: de o à H- oo , puis de — bo à Of comme on a évidemment

la valeur de Tintégrale

(ÎX

sera évidemment aK + a. Si, au contrairCi on fait décroître x de o à — 00 , puis de -H oo à o, on aura

et, par conséquent, la valeur de notre intégrale sera — 2K -i-a.

Il résulte de là que cette intégrale aura la valeur

2/tK-f a,

si X varie de o à X en passant par les deux infinis un nombre de fois égal à la valeur absolue de l'entier n. On voit enfin que, si l'on pose

rdx i + «*

l58 CALCVL INTÉGRAL.

X sera une fonction bien déterminée de i/, et qne cette fonction aura la période de aR = tr.

De la double période des fonctions elliptiques.

512. Les considérations qui précèdent permettent d'établir facilement une propriété fondamentale des fonctions elliptiques.

Nous avons nommé fonction elliptique de première espèce (n* 435) Tintégrale

où A* est <r I ; la différentielle — — — - reste

réelle tant que la variable x est comprise entre — i et + 1 . Intégrons cette différentielle entre les limites o et I, en supposant que x croisse constamment de Tune des limites à l'autre, et prenons les radicaux positivement ; désignons par K Tintégrale ainsi obtenue, que Legendre a nommée intégrale complète; on aura

^ r dx ;

Lorsque a: est comprise entre i et j ou entre — i et — -i

la différentielle ■■ — =: est Imaginaire, et elle

est égale au produit de

^x* — I v^i — A*x* par y — i . Intégrons cette dernière différentielle en faisant croitrexde i à y et en prenant les radicaux positivement;