CHAPITRE II. l5g
si Ton nomme K' Fintégrale ainsi obtenue , on anra
Il est facile de la ramener aux limites o et i ; posons effectivement
it'«=i~-A« ou A»-f-A'«— I,
et employons la substitution
xz=z -- v'i — A-'*r« dx=i
Les limites de l'intégration relatives à t seront i et o ; si on les permute entre elles en changeant le signe de la diiTérentielie, puis qu^on remette la lettre x au lieu de t, il viendra
Jo \l\ — x^di-^k'^x^
Les modules k^ V ont été nommés par Legendre modules complémentaires ; pareillement, les deux intégrales elliptiques
r' dx n' dx
dont les modules sont k et Vy ont été appelées par lui fonctions complémentaires, et il en résulte que K et K' sont deux intégrales elliptiques complètes complément taires.
513. Cela posé, faisons, conformément aux notations du n» 438,
" dx^
tf.
l6o CALCUL INTÉGRAL.
et a:=sinamzr, ^i — x*= cosamir, ^i — A*j:* = Aamii.
Soient X une valeur de x comprise entre — i eH- i , et a la valeur correspondante de u^ quand on intègre en faisant varier x dans le même sens de o à X, et en prenant
positivement les deux radicaux ^i — x*, ^i — A* a:*; on aura
(i) X=sinamay yi — X'=:cosama, y^i— A:*X*r=Aama.
Supposons X ^ o et intégrons la différentielle =r en faisant croître x de o à i , en la fai-
V'i — .r« v^i— X*x* sant décroître ensuite de i à zéro, et en la faisant décroître de nouveau de o à — X. L'intégrale relative au premier intervalle sera égale à K; dans le deuxième
intervalle, le radical y/i — x* devient négatif , après s*étre annulé, et l'intégrale correspondante est encore égale à K; enfin, dans le dernier intervalle, le radical
^1 — X* reste négatif et l'intégrale correspondante
est évidemment égale à a. D'après cela, et en remarquant que ^1 — A^x* reste positif, on voit que
— X = sinam(aR + a), — ^i — X* = cosam(aK -h a),
V^i — it«X« = Aam(aK-f-a);
il est évident qu'on aurait obtenu les mêmes formules en supposant X <:^ o. En les comparant aux précédentes,
CnAPITRE it. z6i
et en écrivant u au lieu de a , on a
isinam(^K -h u] = — sinamu/ cosam {iK -h u] =z — cosamu, Adm[iK -\- u) =. A amtt.
Ainsi sinamu et cosam u ne font que changer de signe quand on ajoute à ]a variable la constante 2K; il en résulte que ces fonctions ne changeront pas si l'on répète deux fois cette addition ; on a donc
, ( sinara(4K + tt] =siaani£/,
f cosam [^K -{- u ] == cosam u,
ce qui exprime que les fonctions sinamu et cosam u ont la période 4^^; 1^ dernière des équations (3) exprime que A amu a la période 2K.
514. La valeur X étant toujours positive et inférieure à I, supposons que, pour passer de o à X, on fasse
croître la variable x de o à -r et qu'on la fasse décroître
ensuite de -r à X, les radicaux ^i — x'^ et y/i — A^j:^
étant toujours pris au départ avec le signe -f-. De o à 1 , l'intégrale de la différentielle
est égale à K; de i à - cette différentielle est imaginaire et a pour valeur
dr
V^x-^— ly^i- X-
le radical ^i — k^x^ doit toujours être pris avec le signe mais le signe de ^x^— i est indéterminé; nous sommes
S» — Caic* int. 1 1
l6a CALCUL INTÊGHAL.
libre de prendre le signe +< au départ , à cause de l'ambiguïté du signe de ^ — i . De i à - l'intégrale de
la précédente difTérentielle sera donc K'^ — i (n^olS);
X décroissant ensuite de - à i, le radical yji — A^ x* qui
vient de s'annuler doit être pris avec le signe — , et l'intégrale relative à l'intervalle que nous considérons sera
encore K! ^ — i. 11 reste à faire décroître a: de i à X;
alors la différentielle redevient réelle, le radical ^i—k^x^ demeure négatif, mais rien ne détermine le signe de
y/i — x^ qui vient de passer de l'imaginaire au réel. Je placerai le signe ambigu ± devant ce radical, et alors l'intégrale relative au dernier intervalle que nous considérons sera, en mettant les signes en évidence,
(ÙC
comme X est <] i , dx est négatif, et la précédente intégrale a évidemment pour valeur dz (K — a). Ainsi, quand x passe de o à X en suivant la marche que nous avons adoptée, on obtient une intégrale dont la valeur est
et l'on a
X rr: sinam[K -h iK' y/'^±: (K — a)], (5) j zh v^i — X* =r cosam[K -h ïK'v/^ d= (K — a)), ( — v^i— A-^X*= Aam[K-f.2KV^±(K — a)],
le signe ambigu ± devant être partout remplacé soit
par -I-, soit par — ; quel que soit le signe qu'on adopte,
on est conduit, comme on va le voir, au même résultat.
La comparaison des formules (5) aux formules (i)
