CHAPITRE II. l
donne, en remplaçant d'abord le signe dz par — et remettant u au lieu de a,
/ sinam(2K'^ — i -f- 1/ ) =:= sin am a, (6) ) cossim{iK! ^— i-h u)=z — cosamu,
( Aam(2K'y^— n- tt) = — Aamu.
Remplaçons u par m 4- 2K dans la deuxième de ces formules e^ par u -f- 2 K' ^ — i dans la troisième, on aura, à cause de cette même formule et de la deuxième équation (3),
Îcosam(2K -f- iK! ^— i -f- «):=cosamtt, Aam(^4^ ^ — I H- «j = Aamu.
La première formule (6) montre que sinamu admet
la période aK'^ — 1; les équations (7) expriment que les fonctions cosamu, Aamu ont, l'une la période
aK-h aK'y'^ — i, l'autre la période 4K.'^— i.
Si l'on remplace le signe itr par 4- dans les formules (5), la comparaison aux formules (i) donne
sinam(aK -f- îKV— ' — m) = sinamu, (8) ^ cosam(aK-t- îK'^ — i — ic) = cosamtt, Aam(aK-f-aK'v'' — i — u) = — Aamu.
Or, il est évident que, si x varie de la même manière de o à -i-X et de o à — X, l'intégrale de la différentielle
aura, dans les deux cas, des valeurs
égales et de signes contraires , tandis que la valeur de
v/i — X^ ou celle de y^i — k^X? sera la même. Il s'ensuit que sinamu est une fonction impaire de u, c'est-à-dire une fonction qui change de signe avec u en conservant
la même valeur absolue, tandis que cosamu et Aamzf sont des fonctions paires. Cela posé, changeons u en — u dans les formules (8) ; supprimons ensuite la demipériode aK, en changeant les signes des seconds membres, on retombera sur les équations (6), qui ont lieu ainsi, pour le cas de u positive et pour celui de u négative. On serait arrivé aux mêmes résultats en partant de l'hypothèse X <^ o.
On voit, par cette analyse, que les fonctions sin am zi, cos amu, Aamu ont la propriété singulière d'être doublement périodiques ; la première fonction admet les
périodes 4K et aK'y' — i, la deuxième les périodes 4K et 2K4- aK'y^ — i; enfin la troisième a les deux périodes aK et 4K.'v^ — !• Pour établir cette proposition, nous n'avons considéré que les valeurs réelles de la première fonction sinamu, mai"^ nous ne saurions développer davantage ces considérations sans sortir des limites que nous nous sommes fixées.
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