THÉORIE DES INTÉGRALES EULÉRIENNES

Des intégrales eulériennes de première et de seconde

espèce.

515. Legendre a désigné sous le nom àHntégrales eu-lériennes les deux intégrales définies

qui ont été étudiées pour la première fois par Euler et qui ont fait depuis l'objet des recherches d'un grand nombre de géomètres. La théorie de ces intégrales a une grande importance, et nous nous proposons de la développer dans ce Chapitre, qui servira de complément au précédent.

La première intégrale dépend des deux paramètres ;; et^ : nous la désignerons par la notation B[p, q)\ la deuxième intégrale ne dépend que du seul paramètre Pf et nous la représenterons avec Legendre par le symbole T{p)' On aura, en conséquence,

(1) Ji{p,q)=f ^/-«(i-ar)^->rfx,

(2) r{p)= i er^xP-^iix,

e désignant ici, comme à Tordinaire, la base des logarithmes népériens.

l66 CALCUL INTÉGHÀL.

Les fondions B[p, ç) sont dîtes intégrales eulériennes de première espèce, et les fonctions T{p) intégrales de seconde espèce. Pour que ces fonctions restent finies, il faut et il suffît que les paramètres p et q soient positifs, ou au moins que leur partie réelle soit positive, s'ils sont imaginaires. Dans ce dernier cas, il faut écrire eP^^^' au lieu de xPy et ainsi des autres.

On peut donner aux intégrales B une autre forme qu'il est utile d'indiquer. Si Ton pose

x-=. 9 I — ar = 9 a j? =z —î

dans la formule (i), Tintégrale relative à j- devra être prise entre les limites o et oo ; on aura donc, en remettant X au lieu de^,

(3) B(/>.g)=jf"^^^^^^^^,

ou encore

si dans la deuxième intégrale on remplace x par - ? dx

(iX

par j-ï les limites qui étaient i et oo deviendront i

et o; on pourra les renverser en changeant le signe de l'intégrale, et l'on aura

ou

Cette formule (4) montre que la fonction B(p, y) est symétrique par rapport aux deux quantités /> et q dont elle