CHAPITRE iri
dépend y en sorte que Ton a
au surplus y cette propriété peut aussi être reconnue sur la formule (1), car, si l'on y changea: en i — x, on transforme immédiatement B[p, q) enB(^q, p).
Réduction des intégrales de première espèce à celles
de seconde espèce,
516. Nous allons montrer que les fonctions B(/7y q) peuvent s'exprimer par des fonctions F, en sorte qu'il n'y aura plus à s'occuper que de ces dernières.
Si l'on désigne par m une constanteposîtive et que dans la formule (2) du n® 515 on pose x := mx\ il viendra
( 1 ) T[p)=zmP i c-"»* V^* dx',
d'où
formule dont on fait en analyse un fréquent usage et qui va nous servir pour résoudre la question que nous avons en vue. Effectivement, on a d'après cette formule
^[P-^-'Jll
^-( l-KT)*' j,//»-f-^-l ^^/.
donc la formule (3) du n° 515 peut s'écrire comme il suit:
Il est permis d'intervertir l'ordre des intégrations et Ton peut écrire
B[p,q)z=~—^ . / e-''x'^'^dx'x'P \ e-^''xP''^dx',
l68 CALCUL IITTÉCRÀL.
é~^^xP''^dx est égale à r{/;); donc
ou
ce qui est le résultat annoncé. Nous passerons maintenant à l'examen des principales propriétés des fonctions de deuxième espèce.
Première propriété des fonctions T*
517. En intégrant par parties la différentielle a:^~ I X ff-jc Jx, on a
I xP-^e-^dx = — xP-^e-' -f- (/? — i) / e-'xP-^dx.
Si Ton a p ^ I , la partie intégrée disparaît aux deux limites o et oo , et Ton a
/ c-'xP-^dx = (/7 — i) / e-'^xP-^dx,
c'est-à-dire
cette équation exprime la première propriété des fonctions r ; on en déduit immédiatement, en désignant par m un entier inférieur à p,
d'où il suit que, si la fonction F est connue pour toutes les valeurs de V argument p comprises entre o et 1 , ou,
GHAPITHE III. IÔ9
plus généralement, comprises entre deux entiers consécutifs, la même fonction sera aussi connue pour toutes les autres valeurs réelles de l'argument.
Si/7 est un nombre entier et que Ton fasse m = p — i dans l'équation (2), il viendra
maïs, comme l'intégrale l e~'^rfxestégaleà— ©"•'-f-const., on a
donc
en sorte que, si p est un nombre entier supérieur à i, T{p) se réduit au produit des p — i premiers nombres entiers, résultat déjà établi au n^493.
Deuxième propriété des fonctions F.
518. La propriété que nous allons établir permet de réduire à - l'intervalle d'une unité dans lequel il suffit
d'effectuer le calcul de la fonction F d'après la première propriété; elle donne, par exemple, les valeurs de cette fonction qui répondent aux valeurs de l'argument^ comprises entre - et 1 , lorsqu'on connatt les valeurs relatives
aux limites o et —
Si, dans la formule (2) du n® 516, on fait q = i — /;, p étant supposé ici. compris entre o et i, il viendra, à cause de F(i) = i,
et| à cause de la formule (3) du n° 515,
Mais nous savons (n^489) que l'intégrale contenue dans
cette formule a pour valeur -: ; on a donc
*^ sin/?7r
^ ' \' / \ ^ ; Sin/?7r
Telle est la formule qui exprime la deuxième propriété de la fonction F. Si Ton y suppose />= -> elle donne
rMi)=i^.
d'où
Cette formule ne difiTère pas de celle que nous avons
établie au n® 497, Effectivement, si l'on fait » = - dans
la formule (2) du n* 515 et qu'on écrive x^ au lieu de Xj on aura
Troisième propriété des fonctions F.
519. Si l'on suppose y =/? dans la formule (i) du n^ 515y il viendra
