Si Ton différentie la formule

<r-*a*-*rfa.

et qu'on représente par r'{x) la dérivée de r(a:), il viendra

T\x)= I ér-«a'-*logaAc,

la caractéristique log désignant un logarithme népérien. La formule ( i) du n** 516, où Ton fait p = i^ donne

er^dz;

si l'on multiplie cette formule par da et qu'on l'intègrô ensuite entre les limites i et a, on aura, comme nous l'avons dit au n? 494,

loga = /

dzm

En remplaçant loga par cette valeur dans l'expression précédente de r'(x), on obtient

e-^oc^-'doL / dz;

on peut intervertir l'ordre des intégrations et écrire

r'(x)= r —[<?-* f e-^ o.^-^ do. ^ Ç e-(i+*)«a*-»//al.

La première des intégrales qui figurent dans la parenthèse

cnÀPTTiiB m. Î73

r(.r) est r(x); la deuxième a pour valeur (n" 51G) . — ~)^*

On a doDC

ou, en divisant parr(x),

si Ton multiplie les deux membres de cette formule par dx, et que Ton intègre ensuite entre les limites i et Xf il viendra, à cause de logr(i ) = log i = o,

On peut simplifier cette expression de logFfx) en opérant comme il suit: en faisant or = a^ il vient, à cause de logr(2)= logi = o,

-n dz

"' »=r[-ëi^]

et, si Ton multiplie l'équation (3) par or — i, puis qu'on la retranche ensuite de Téquation (a), il viendra

(4) logrW^y^ [^(..o(i-^3)-»-^ -^ Jï^-hl/

enfin, sironposelog(i -hz) = a, z = e" — i, l'intégrale relative à a devra être prise entre les mêmes limites o et 00 , et Ton aura définitivement

(5) iogr(x)=J [(x-.)^-^-;:"]^^

I7i CALCUL INTÉGRAL.

Dés^eloppement de la fonction logr(x) en série.

521. En difTérentiant la formule (5) du numéro précédent, on a

et, en difTérentiant de nouveau,

Remplaçons le facteur ^ par sa valeur

I 4- <?-*H- e-**-h tf-^*H-. . ., nous aurons

OU, en évaluant chaque terme au moyen de la formule (i) dun«516,

formule dont le second membre est une série qui reste convergente, quel que soit x.

Si Ton intègre les différents termes de la formule (2) multipliée par dx entre les limites i et x, on aura

chapithb m. 17?

et la série qui figure dans le second membre sera convergente comme celle d'où elle est tirée par l'intégration. Quant à la quantité — C, elle est évidemment égale

à la valeur que prend pour a:= i la dérivée — 'T~^^ ^^ Ton a, par l'équation (i),

(4) C = ^"(j-I^-l).-rf«;

cette quantité C est connue sous le nom de constante d'Euler; nous verrons tout à Theure comment on peut calculer sa valeur.

Si l'on intègre entre les limites i et x la formule (3) multipliée par dxy il viendra, à cause de logr(i) = o,

l0gr(.r;:= c (^ - I ) H- (^^ - log '^\

formule dont le second membre est une série convergente comme celle qui figure dans la formule (3). On peut se débarrasser aisément de la constante C; si, en effet, on pose j:= 2 dans la formule (5), il viendra

(6)o = -CH-(i-logî)+(i-log!)-^...-f-(i-log^±l)^-...,

et, si l'on retranche de l'équation (5) le produit de l'équation (6) par X — I, on aura

logr(x) = hx — i)log ^ - log f 1 (7)( +|^(^-i)log--log^^J-»-...'

log

— log [h-...,

1^6 CALCUL HTTÉGUÀL.

ou, pour abréger,

(8) logr(<r)=^ r(x-i)log^i-t-ij-log(i+^l^^J.

Désignons par log{i-^€m) la somme des termes qui suivent le m**"* dans la série (7) ou (8); comme cette série est convergente, la quantité tm s'annulera par m = 00 , et l'on aura

logr(x- = |^(x - i)Jog2 - logf j +. . .

+ ^(x - i)log -^ log J -+-HI1 -+.f

ou, en revenant des logarithmes aux nombres,

le facteur fin — ■] se réduisant à i pour m = 00 , on peut le supposer compris dans n- Ç;,» et écrire

c'est-à-dire que l'on a

Remarquons encore que la formule (6) donne pour la constante d'Euler

(11) C = Iiin(n h^-h...H logmU pourm=rQo.

GHAPixaE m. Ï77

Développement de la fonction logT[i-\- x) en série convergente ordonnée suivant les puissances croissantes de X pour les valeurs de x comprises entre — 1 et -f- 1 .

522. Si Ton change a: en a: + i dans la formule (a) du n^ 521 y on aura

</*logr(i-4-.ir) __ I I ^ I

ety en différentiant n — a fols,