I.2.../I </«'* /l Lt''*^ "*"')'* (a: -h 2)* ' J

posons généralement

Sm = I H -4- zr- "4" "7- "4" • • • >

on aura, pour x = o,

si n est ^ i^ et l'on a d'ailleurs, pour x = Of

^y- ^=-C, logr(i + a:)=0;

la formule de Maclaurin donnera donc, pour les valeurs de X comprises entre — i et 4- i ,

(1) logr(i4-a?) = — Cj:-+-S, ^ 83^-4-84-7-4-....

Cette formule n'est pas commode pour le calcul, parce que les sommes S décroissent peu rapidement, mais on peut obtenir des séries plus convergentes ; si à la dernière

S, ^ Cale. intM za

178 CALCUL INTÊaRÀL.

équation on ajoute la suivante :

o = — logfi-}- jr) -i-« H,- 7--i-«»-i

il viendra

Ilogr(n- j?) = — log(n- jr)-h (i— C)x -f--(S,-i)x»-i(S,-i)ar»-h...;

les termes de cette série décroissent assez rapidement, mais on peut encore augmenter sa convergence. En changeant X en — X dans la formule précédente, on a

Ilogr(l — 4?) = — log(i — jc) — (i — C)ar -H - (S, — l)x» + J (S, — l)*» + . . . .

Mais on a

r(l-4-a?) =4rr(jr), r{xjr(l — a?) = -r^— ,

et, en multipliant.

d'où

r(l-4-a:)r(l— ar)=:-7 5

l<^r(n-x) + logr(i — x) = Ic^ -j— -.

Ajoutant cette équation avec l'équation (2), retranchant ensuite l'équation (3)> et divisant le résultat par a, il viendra

logr(i-4-a?) =- log-T log h (i — Cja?

D'après les propriétés démontrées plus haut, la fonction r sera connue pour toutes les valeurs positives de l'ar-