I-C=i^oga-^|(s,-I)^--^•(s,-^)-^-i(ST-I
quatorze sommes S suffisent pour obtenir C avec quinze décimales ; on trouve ainsi
(5) C = 0,57721 56649oi53a8;
nous ferons connaître plus loin un procédé plus expéditif pour calculer cette constante, et qui n'exige pas le calcul préalable des sommes S.
Éi^aluation de la /onction — ^ ^ ^ dans le cas oii x est un nombre commensurable,
523. La fonction — ^f^ P^^^ s'exprimer, sous forme finie, par un nombre limité de termes, toutes les fois
l8o CALCUL IlTTÉailAL.
que X est un nombre commensurable. Si, en efiet, on ajoute les deux équations (i) et (4) du n^ 521 j il viendra
dx / , ,
-our
OU, en posant e~"==^,
z = a", on aura
si l'on a x = — 5 m et 72 étant entiers, et que l'on fasse
la différentielle sous le signe / est ici une fraction rationnelle, et, par conséquent, son intégrale pourra s'exprimer par des quantités algébriques, logarithmiques ou circulaires* Par exemple, on aura
!M£l=-c-.jr'^.=-c.W4(p««.=l).
Si la quantité x se réduit à un nombre entier, la formule (i) donne
^logr(
^-i-C= / (n-« + »*4-...-f-«'-*)rf5,
dx
c'est-à-dire
la somme contenue dans le second membre de cette formule est connue sous le nom de svite harmonique.
CHAPITBB in. l8l
Recherche du minimum de la fonction r(:r).
524. La formule ( 2 ) du n*^ 521 montre que la fonction — f i ®s^ positive pour toutes les valeurs de la
variable or supposée réelle et positive; en conséquence,
la fonction — -, — —^ ou , ; est constamment crois-
dx r[x)
santé; d'ailleurs on voit, par la formule (3) du même numéro y que cette fonction est égale à — 00 pour x = o et à H- 00 pour a: = -H « . Il suit de là que la dérivée T'{x) ne peut s'annuler qu'une seule fois, et par suite que la fonction T[x) n'offre qu'un seul minimum. Ce minimum a lieu nécessairement pour une valeur de x comprise entre i et a, puisque l'on a r(2) = r(i) ; quand x
est infiniment petit, la fonction T [x) = —^' = -
jc x
est infinie; quand x crott jusqu'à 00 , r(x) décroit jusqu'à ce qu'elle ait atteint son minimum, et elle croît ensuite jusqu'à 00 .
Si l'on veut obtenir la valeur de x qui répond au minimum de r(i+:r), ilsuffîradedéterminerlaracinepositive
unique de 1 équation F' ( 1-4- x) = o ou — - — ^ ^ = 0.
