Puisque l'on a

quand x est un nombre entier, la fonction T[x) peut servir à l'interpolation de la suite dont le terme général est I • 2 • 3 ... (or — I ) . La formule précédente exprime, en effet, ce produit par le moyen d'une fonction continue de X dans laquelle la variable est susceptible de recevoir toutes les valeurs imaginaires dont la partie réelle est positive. Mais la formule (8) ou (10) du n^ 521 fournit un mode d'interpolation beaucoup plus général, puisqu'elle permet d'exprimer le produit i.2.3...(:r — i) par une fonction continue de x^ dans laquelle la variable peut recevoir une valeur réelle ou Imaginaire quelconque. Comme ce résultat est d'une extrême importance, il n'est pas hors de propos de faire voir que les considérations les plus élémentaires conduisent immédiatement aux formules dont nous parlons, lorsque l'on cherche à interpoler la fonction numérique i.2.3«..(j: — 1).

Soient donc x et m deux nombres entiers positifs, les j: — I fractions

mm m

m-hi nt-hi m-hx — i

tendront vers l'unité si m tend vers l'infini, x restant constant ; il en sera donc de même du produit de ces

CHAPIT&E III.

X — I fractions, et l'on aura

tfn étant une quantité qui s'annule pour m = oo . Multipliant les deux termes de la fraction du premier membre par I • 2 ... m et chassant le dénominateur 1 4- em» il vient

ety en multipliant les deux membres par i.a.3*..(x — i),

on a

« , » (i.a.3.../?2l ut*~* , ,