ll=:llin — ; j ; r pOQrm
C'est précisément la formule (lo) du n^ 521 dans le cas de X entier, et l'on en déduit sans difficulté la formule (8) du même numéro.
Dans les recherches qu'il a entreprises sur cet objet, Gauss a pris la formule (lo) du numéro cité pour l'expression générale de la définition de r(ar), etM. Liouville, adoptant ensuite le même point de vue, est parvenu à plusieurs résultats intéressants ( * ] ; on voit, par ce qui précède, combien cette marche est naturelle. D'après l'analyse que nous avons développée, le second membre de la formule (8) du n^ 521 est une série qui reste convergente pour toutes les valeurs positives de x, et par conséquent, dans la même hypothèse, le second membre de la formule (lo) du même numéro tend vers une limite déterminée. Mais, pour justifier la nouvelle défi-
(* ) Voir sur cet objet une Note de M. LioQYille, insérée au tome XVII, 1** série, du Journal de Mathématiques ffures et appliquées.
l84 CALCUL IBTÉGaAL.
nition des fanctions F, il est nécessaire d^établir que la même chose a lieu pour toutes les valeurs négatives ou imaginaires de x. On voit d'abord sur la formule (lo) (n^ 521) que T{x) est infinie lorsque x est égal à zéro ou à un nombre entier négatif quelconque ; ce cas étant mis de côlé, je dis que la série de la formule (8) est toujours convergente. En effet, le terme général dans lequel on suppose m supérieur au module de x — i est
ou
Sm désignant une quantité qui s'annule pour m= oo ; il résulte de là que, àpartir d'un rang suffisamment éloigné, les termes de la série décroissent comme les termes de
la série \ — |; donc cette série est toujours convergente, et par suite le second membre de la formule dont nous nous occupons tend vers une limite finie et déterminée.
Démonstrations nouvelles des propriétés de la
fonction V[x).
526. Les propriétés de la fonction F établies plus haut découlent immédiatement, comme on va le voir, de la formule (lo) du n"* 521.
Première propriété. — On a
, . (i.a. . .mlm*-* .
Vlx -f- I = : ; r (l -+- «' ),
CHAPITliE III. l85
d^oà| en divisant,
V[x) a: + ;ni-hf^'
et| en faisant m = oo /il vient
T[x-^l)=:xV[x),
ce qui est la première propriété de la fonction F.
527. Deuxième pkopriété. — Si l'on multiplie entre elles les deux équations
il viendra
r(ar)r(i — a?J =
si Ton fait m = oo , le numérateur du second membre de cette formule se réduit à i et le dénominateur à
- sinTTXy à cause de la formule connue
sin. = .(i 5)(,-^)(.--^)... •
(voir mon Traité de Trigonométrie, 5* édit., p. 247); on a donc
^ ' ^ ' smiro:
OU, en multipliant par Xj
smirx 528. T&oisiÈME PROPRIÉTÉ. — La troisième propriété
x86 GALGITL IKTÉGRÀL.
de la fonction F n^a été démontrée au n? 519 que dans un cas particulier : nous allons l'établir ici dans toute sa généralité.
Soient x une quantité réelle ou imaginaire quelconque, n et i deux entiers positifs; si dans la for-
mule (9) du n*^ 521 on remplace x par x-\ — > il viendra
^ ' (a?4--jl.rH |-iJ...(j:-î hm— i j
donnant ensuite à i les n valeurs o, i, a, . . . , n — i, et multipliant entre elles les égalités résultantes, on obtient
nx [nx -^ i), , ,[nx-{- mn — 1)
«m désignant toujours une quantité qui s'annule pour m = 00 . Mais l'équation (9) du n^ 521 donne aussi, en remplaçant x par /zx et en écrivant mn au lieu de m,
Binx)= i (« + ««,
^ ' nx ]^njc -j-i]. . ,[nx -{- mn — i) ^ '
et l'on a, par les deux équations précédentes,
n'-'^^T[nx)
Zjn, désignant encore une quantité qui s'annule pour m == 00 . La limite du second membre de cette formule est une fonction de n indépendante de x; en la dési*
CBAPITAB in* 187
gnantpar cp(7z)y on aura
la fonction (f (n) étant définie par la formule
f{n)=z]im ^ ^{pourOT=co).
Si l'on fait
. , . I «atS. . «171 .
on pourra écrire aussi
' ^ ' ' ^ (mu) ^ '
en posanti pour abréger,
A-limtiMl!.-
on a aussi, en changeant m en a m,
puis
mais les quantités lim =^ — ^ et lim ^ 7- sont éeales
à A2 ; donc on a
A^ = A;-» et f[n):=\^'nA'^'^i
l88 CALCUL IITTÉGIIAL.
quant à la constante Âa, sa valeur est
A ?(^) 1. (i.a.3. . .m)*ri""'*'^
Aj=: ^--=r^ =:llin '■ j—
-'^V^îU
4 2/w — a am
5 2/» — I am — I '
d'après la formule de Wallis (n^ 492), la quantité sous le radical a pour limite 4 - ou air; on a donc
par suite
et
Telle est l'équation qui exprime la troisième propriété de la fonction F ; en y faisant n = a, il vient
r (x) r(x -*--) = ff*2-*'-*-*r (a«),
ce qui s'accorde avec le résultat que nous avons obtenu au n^ 519.
La démonstration que nous venons de présenter de la formule (a) est directe et indépendante des autres propriétés de la fonction F. Pour déterminer la constante Aa, on
aurait pu se servir utilement de la relation F ( - ) = ^;
ainsi, en faisant â?= -et7i=adans la formule(i),on aurait eu
0r:= - f (2) = - y'aAi, d'où Atn= y^air.
cHApmB m. 189
comme nous l'avons trouvé autrement. Enfin on peut obtenir très-simplement la fonction (f{n), comme le fait LegendrCy en se servant de la deuxième propriété des fonctions F; posons en effet a: = 0 dans la formule (i),
après avoir remplacé T[x) par -^ et T(nx) par
r(/ix-+-i) ., . j
-i 9 il viendra
nx
i„„=r(l)r(3)...r(iz^).
ou, en renversant les facteurs,
multipliant ces deux valeurs de - cf (n), et observant que
9 on aura an
««ir»-»
sm - sm — ... sin -^ ^—
mais on sait que le dénominateur de cette expression est égal à -^3:^ : donc
y»(/?) = /i(2ir)»-* et y(/i) ==^/i(2ir) •,
comme nous l'avons trouvé plus haut.
^application de la théorie des intégrales eulériennes à la détermination de quelques intégrales définies,
