I, COS0=:COS

dr La tangente est bissectrice de l'angle des rayons vecteurs.

III. Le cercle peut être représenté par l'équation - =a, d'où l'on tire

Les angles 6, 0 sont les compléments des angles i, I, que les deux rayons vecteurs forment avec la normale au cercle. On a donc entre ces derniers angles la relation

sinl sin i

On tire de là une construction simple pour représenter la loi de la réfraction de la lumière. Si a est l'indice de réfraction d'un

l4 LIVRE III. — CHAP. I, § I.

milieu, construisons, par le procédé connu, le cercle qui a pour équation — = a. Si l'on mène par le point A {fig. 38) une droite AM faisant avec la normale un angle I égal à l'angle d'inci-

Fig. 38.

dence, la droite Ma fera avec cette normale un angle i égal à l'angle de réfraction, et AMa sera la déviation du rayon.

521. Si l'on prend pour coordonnées l'abscisse x et le rayon vecteur FM = r {fig. 3o,) (ce qui revient à transporter à l'infini

Fig. 39.

0/ or

\ ~~Ar

sur l'axe des x un des points fixes A, a du système du numéro précédent), en désignant toujours par 9 et & les angles que fait la tangente avec le rayon vecteur et avec l'axe des x, on aura, comme précédemment,

dr dx x cos@ dx

cosô cos@ cosô dr

ds

Soit, par exemple, r = ax l'équation d'une section conique

rapportée à son foyer et à sa directrice. On aura alors = a,

1 cos®

ou, si l'on appelle i et I les angles de la normale avec r et avec x,

TANGENTES, ETC., POUR DIVERS SYSTÈMES DE COORDONNÉES. l5

sin i r

sin

- = a = —> Pour construire la normale, on prendra donc, sur i x *■

MD, MG = MF — r; on mènera GN parallèle à FM et égale à MD — j; MN sera la normale cherchée. En menant MH perpendiculaire à x et — r, puis HT perpendiculaire à r et = x, MT sera la tangente.

o22. Pour donner un exemple de l'emploi des coordonnées curvilignes, considérons deux coniques homofocales

x1 — bl

b'~ — pr

où l'on suppose l-^>b2~^>[A2. Ces deux courbes se coupent orthogonalement. En effet, les cosinus des angles que fait avec les axes la tangente à l'ellipse au point (x, y) sont proportionnels aux différentielles dx, dy, tirées de l'équation de cette courbe. De même, les cosinus des angles de la tangente à l'hyperbole avec les axes sont proportionnels aux différentielles d'x, d'y, tirées de l'équation de l'hyperbole. Or, des équations

on tire, par multiplication,

ïïydxd'x = "(y- &«[(&»! p»)*^-

Les équations (i) donnent, par soustraction,

et, X2 — p.2 n'étant pas nul, la parenthèse s'évanouit, et, par suite, l'équation précédente devient

dxdx -+- dydy1 ' = o,

c'est-à-dire que les deux courbes se coupent à angles droits.

Si l'on résout les équations (i) par rapport à x et à y, on trouve

Réciproquement, pour avoir les demi-axes 1, p des deux coni-

l6 LIVRE III. — CHAP. I, § I.

ques qui se coupent en un point (x,j), on verra, en résolvant les équations (i) par rapport à X2 et à p.-, que ces deux quantités sont les racines de l'équation

lesquelles sont réelles et positives.

On conclut de là qu'un système de valeurs de X et de p détermine un point du plan, et que, réciproquement, à chaque point du plan correspond un système de valeurs de X, p. On peut donc prendre ces quantités X, p. comme des coordonnées propi-es à déterminer tous les points du plan, et une relation entre X et ^ représentera une courbe.

On voit, en particulier, que X = const. représente une des ellipses liomofocales, {x = const. une des hyperboles.

Si nous considérons l'ellipse X= const., on obtiendra les divers points de cette ellipse en faisant varier p, ce qui donne, en vertu des équations (2),

bdi,x = 1 dp , b d^y = — ». dp i / —

En désignant par d^s la corde infiniment petite de l'ellipse, on a donc [5081

dç.s = sjd^x* -+- dpj2 = du. 4 / —

On trouvera de même, pour la corde infiniment petite de l'hyperbole,

d\s = dl

Cela posé, soient M, M' {fig. 40) deux points infiniment voi-

Fig. 40.

sins, pris sur une courbe quelconque / (X,p) = 0. Menons par