HÉLICOÏDE GAUCHE

lignes de plus grande pente,

(Xr/.r + Ydj ) du = a* du1 = o,

d'où du = o, w = const., ce qui répond à une hélice de même pas que l'hélice (i), et tracée sur un cylindre de rayon au.

732. On a, pour l'angle de deux normales infiniment voisines,

On a d'ailleurs

ds = sJM^dt'1 -+- a2 du-,

d'où résulte

b ds

do = — - • TT-2

— \/Wdt--\-a2du-.

En combinant l'équation du plan tangent avec sa différentielle par rapport aux coordonnées de la surface, on a, pour les équations de l'intersection de deux plans tangents infiniment voisins,

— 1X1 -4- bH-ci — «2«(Ç — z)=o,

— bdX.l 4- bdX.v —a*eiu[Ç — z) = — a*udz.

Les cosinus des angles de cette intersection avec les axes sont proportionnels aux quantités

— a~b{Xdu + Yudt), — a- b [Y du — X« tlt), arb*dt,

dont la somme des carrés est a',b-{\]-dt--ir-a-du-) — a!ib'1ds'-; donc ces cosinus eux-mêmes sont

X du -+- Yu dt Y du — X u dt b tlt

fis ds ds

On a, par conséquent, pour l'angle 0 de deux tangentes conjuguées,

„ .— [Xdu -i- Yudt) dx — [Y du — X udt) dy -h b dtdz

cos5 — s - ! — -

ds2 V2 dû — a2 du2

2l8 LIVRE III. — CHAP. II, § VIII.

d'où, à cause de la valeur de ds2,

i -4- cos 6 — — — — 5 i — cos t

ds% ds

et par suite

zaTJdtdu

ds%

labdtdu r labdtdu

dr = do sin B — — — - — •> - = TT „ - •

L'équation différentielle des lignes de courbure, cosô — - o,

donne

a du

dt =z ± 5

\la* iï' + b*

d'où l'on tire, pour les rayons de courbure principaux, les valeurs

t , diA , b R = ~ ds — ~~ IP°