Autrement, en opérant comme au n° 729, il vient

i r bY i bX

R dx «U dy a\l

bWdY—Y. a* u du b Us r/X — X . cr a du

U'dâ

du

(Yrfa?

- Z-dj) -

b Us|

— YdX)

a U3 dy

b akudu ab du

a U3 .a'udt Wdt

b cv-dt bdt

a U3 ( — X dx — Ydy) a X] .a? du al] du

i au ab^du abdu

~ dz "Û~ ~ ~~ Us<fc ~ ~~ Wdt '

On tire de là

abdu bdt a%du~ 1 Z»

~~ U3<fc ~ ~ alTdu' ' ~ ~ W~~ ' R Û5 '

En faisant sinô = o, on a l'équation des lignes asymptotiques

dt du = O ,

d'où l'on voit que les deux systèmes de lignes asymptotiques coin-

HELIC01DE GAUCHE.

cident avec ceux des lignes de niveau et des lignes de plus grande pente [731].

Le lieu des centres de courbure principaux, ou la surface 2 [702], est donné (4) par les équations

a Ç — au cost~ U sinf, r, = au sin? ri" U cost, 'C, = bt ~ - TJ u, 1 b

les doubles signes correspondant aux deux nappes de la surface. 734. Les équations (2) ou

x — au cos£, y = au sinf,

bt

donnent

dx Tt dx du

dy ôz

au smt, — = au cost, -—- = 0,

dt dt

dy . dz

a cost, — - — a smt, —=o,

ou ou

d'où [720], en changeant u en t et v en u,

E = au* + b* = W, F = o, G = «2, EG — F2=«2U2,

U2 o a- u o ar o

rt2 m o «2

Donc l'expression de la mesure de la courbure est

*--tpï'

ce qui s'accorde avec la valeur de ^7: qui résulte des numéros précédents.