Hélicoïde dèveloppable. — Cette surface est le lieu des
tangentes à l'hélice, représentée [722] par les équations (i) H = acost, Y = a sin/, Z= bt.
Les équations de la tangente seront
x — X y — Y z — Z . — Yr -h X r
I o I — * — — — il
Tirant de là x,y, z en fonction des variables t et u, et conservant, pour abréger, X, Y, Z pour représenter les expressions (i), on aura les équations
( 3 ) x = X — Yu, y = Y H- Xz/, z = Z -+- &# = z & ( / H- w),
qui donneront les coordonnées de l'hélicoïde en fonction des deux variables indépendantes.
On tire des équations (3)
( 4 ) clx ■=. — jdt — Y du, dy = x dt -h ILdu, dz = bdt -\- b du.
Soit maintenant A( \ — x) + B(y; — y) -+- C(£ — 3) = o l'équation d'un plan mené par le point (x,y, z). Pour qu'il passe en un point de la surface [x -+- dx, y -+- dj r, z -+- dz) infiniment voisin de (x,y, z), il faut que l'on ait
kdx + Bdy H- Cdz = o, c'est-à-dire (4)
(— Aj + Bx + Cb) dt + (— AY + BX -+- Cb) du = o.
Pour que cela ait lieu tout autour du point (x,y, z), on devra avoir [643] les conditions
— Ay-hBx-hCb — o, AY + BX-j-C£ = o,
On aura donc, pour l'équation du plan tangent, en remarquant que l'on a (2) b(Yx- — Xj) = — a2 bu, et a- (s — Z>w) = «2Z,
d'où l'on tire
— £Y?H- 4Xn — a^i'Ç
HÉLICOÏDE DÉVELOPPABLE. 2l3
ce qui n'est autre chose que l'équation du plan oscillateur à l'hélice (i) [723, (9)].
Les équations de la normale sont, d'après cela,
1 ' — bY
Le coefficient angulaire de la projection de la normale sur le
plan des xy étant — — » cette projection est perpendiculaire à
celle du rayon du cylindre qui passe par le point de contact de la génératrice sur laquelle est situé le pied de la normale. Les cosinus des angles de la normale avec les axes étant
bX bX. a*
ac tic ac
on voit que la normale fait un angle constant avec l'axe des z, ainsi qu'avec le plan des xy.
L'équation (5) ne dépendant pas de u, on voit que le plan tangent reste le même tant que t reste constant, c'est-à-dire tout le long d'une même génératrice.
727. L'équation des lignes de niveau z = G ou dz = o devient ici
( 8 ) t -+- u — C, ou dt -+- du = o.
En éliminant une des variables t ou u entre les équations (3) et (8), les équations obtenues représentent une développante du cercle de base, comme on aurait pu le voir a priori par des considérations géométriques.
Si a, j3, o sont les cosinus des angles que fait la tangente à la ligne de niveau avec les axes, et x,y, z les coordonnées d'un point d'une ligne de plus grande pente, la condition de perpendicularité des tangentes aux deuxlignes donne a dx -+-fidy = o, équation différentielle des lignes déplus grande pente. Ici, en faisant <f« = — dt, on voit que a. et |3 sont proportionnels à — (y — Y) dt, [x — X) dt, c'est-à-dire à — Xudt, — Yudt. On a donc, pour l'équation différentielle des lignes de plus grande pente,
— Hu dx — Y udy = o,
2l4 LIVRE III. — CHAP. II, § VIII.
ou, en mettant pour dx, dj leurs valeurs (4), et réduisant,
a~ udt = o,
d'où l'on tire dt= o, 1 = const. Donc les lignes de plus grande pente sont les génératrices rectilignes de l'hélicoïde.
La solution u = o serait une solution singulière, qui donnerait (i), x = X, y = Y, z = Z; cette solution correspondrait donc à l'hélice directrice, lieu des intersections successives des lignes de plus grande pente.
728. L'angle de deux normales infiniment voisines est, d'après les valeurs (7),
(q) dM = — JdX* + dY2 = - dt.
' ac c
Pour avoir l'intersection de deux plans tangents infiniment voisins, on joindra à l'équation (5) sa différentielle par rapport aux coordonnées de la surface, savoir
— 6X? — bYr, + a*b = o, et l'on tire de ces deux équations
l — X ri- Y l — Z
Les cosinus relatifs à la direction de cette droite sont : ? — 5 -•
il TC CL V CiZ
Les cosinus relatifs à la direction de l'élément ds sont ■—-■> —--■> —-•,
as ds ds
où l'on a
ds = sj a2 «s dfi + c2 [du -4- dtf ,
On a donc, pour l'angle 9 des tangentes conjuguées, dont Tune est tangente à ds,
— Ydx-±Hdy-\-bdz (Yr + X.r+62W;-4-(Y2-hX2-L-6V« cds cds
c'est-à-dire
cidt -+- du) . audt
cos9= — ; -5 cl ou sui9= — - —
ds ds
HELICOÏDE DEVELOPPABLE. 2[5
On en conclut
abudfi i abudt*
dz = do sm 9 ==. — 5 — = — .
cas p cds%
L'équation aux sections principales ou aux lignes de courbure est donnée par la condition cos0 — o, d'où l'on tire dt -h du = o, équation qui coïncide avec celle que nous avons déjà trouvée pour les lignes de niveau. Donc les lignes de niveau forment l'un des systèmes de ligne de courbure. L'autre système, qui n'est pas donné par l'équation cosd = o, et qui, la surface étant développable, correspond à une valeur infinie du rayon de courbure, sera formé par les trajectoires orthogonales des lignes du premier système, c'est-à-dire par les lignes de plus grande pente, qui sont les génératrices rectilignes.
729. Autrement, si l'on veut appliquer les formules générales
du n°681, — = --y = .- — — R, il vient, d'après les valeurs (n)
da do de 1 x ' '
ac dx ac dy dz ~ TdY ~ bdX = ô~ = ~~ ' d'où l'on tire
o = dt { ( X.r. + Yj ) dt H- ( X2 -t- Y2 ) du ] = ^ dt ( dt + du) ,
d'où l'on tire les deux solutions
, ,,.,,, dx
dl= o, équation d une génératrice, douR= — = x ,
dt -i- du = o, ou dz = o, équation d'une ligne de niveau,
d'où l'on conclut
ac[y — Y) dt ac u
R = bXdt ~ b~ '
valeur du rayon minimum de courbure.
Les coordonnées du centre de courbure correspondant à ce rayon R seront, en vertu des valeurs (7),
bY bX a* c2
l = x R = X, ti = Y-\ R — Y, l = z R = Z+-«.
ac ac ac b
On en conclut £2H- ï:2" ci-. Donc la surface lieu des centres de courbure principaux est le cylindre sur lequel est tracée l'hélice.
2l6 LIVRE III. — CHAP. II, § VIII.
730. Hélicoïde gauche. — On appelle ainsi le lieu des normales principales de l'hélice
(i) X — #cos£, Y=#sinf, Z =: ht.
Les équations de cette normale principale étant [723, (10)]
'L — Z — lZ~j? —
X — Y ~ o ~~Ui
on aura, pour les expressions des coordonnées de la surface au moyen des variables indépendantes t, u,
(2) x = Xu, j-Y«, z — Z.
On tire de là
( 3 ) dx =: — y di + X du, dy = x dt -j- Y du, dz = b dt.
Si l'on représente par A(£ — x) -+- B[x — y) -+- C('( — z) = o l'équation du plan tangent, on trouvera, par un raisonnement semblable à celui du n° 726,
A:B:C = — bY:bX:—a*u, de sorte que, si l'on fait, pour abréger,
les cosinus des angles de la normale avec les axes seront
6 Y hX a%u
731. Pour z = const. ou dz-=o, on a /= const., équation d'une génératrice. Donc les lignes de niveau de la surface sont les génératrices rectilignes.
On a, le long d'une génératrice, dont les équations sont les équations ( 2) pour t = const.,
dx — Xc/«, dy = Y du, dz ■=. o.
On a donc, pour l'équation des trajectoires orthogonales des lignes de niveau, c'est-à-dire pour l'équation différentielle des
