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CONTACT DES DIVERS OBDIiES DES LIGNES ET DES SURFACES.

735. Contact de deux lignes. — Si l'on projette une droite sur trois plans non parallèles deux à deux, deux au moins des projections de la droite seront avec celle-ci dans un rapport fini.

Si l'on coupe deux courbes MM', MM", issues d'un même point,

par un plan quelconque, infiniment voisin du point commun M,

et qui ne soit parallèle à aucune des deux tangentes à ces courbes

en M, l'ordre infinitésimal de chacune de ces trois quantités : l'angle

M' M" M' M" M'MMff, ? f/ •> sera dit l' ordre de contact des deux courbes

au point M. Si M'M/; est infiniment petit de l'ordre n—\-\, l'ordre de contact des deux courbes sera n.

Deux au moins des projections de M'M" sur les trois plans coordonnés seront, dans ce cas, des infiniment petits d'ordre n -+- 1 . Donc, sur deux au moins des trois plans coordonnés, les projections des deux courbes auront des contacts d'ordre n. Si les contacts sont d'ordres différents pour les projections sur deux de ces plans, l'ordre le moins élevé sera celui du contact des deux lignes dans l'espace.

Les conditions du contact d'ordre n pour les projections des deux courbes sur les plans des xz et des jz sont [567 j l'égalité, pour ces deux courbes, des valeurs respectives des quantités

dx dn x cly d'1 y

' dz ' dz11 J" dz ' dz'1

pour une même valeur de z, ce qui fait en tout 272 -f- 2 conditions. Si les équations de l'une des courbes renferment des paramètres arbitraires et que l'on détermine ceux-ci de manière que les deux courbes aient un contact de l'ordre le plus élevé possible, la première courbe sera dite osculatrice à la seconde. L'ordre du

contact, selon que le nombre m des paramètres sera pair ou im-

pair, aura pour valeur 1 ou 1. Dans ce dernier cas,

il restera un paramètre arbitraire, que l'on pourra déterminer par une condition choisie à volonté.

736. Exemples. — I. Droite osculatrice . — Les équations générales d'une droite, étant de la forme

X~AZ-f-tf, Y=BZ-t-&, renferment 4 paramètres arbitraires; on pourra donc établir, entre

la droite et une courbe donnée, un contact d'ordre 1 = 1. On