CONTACT DE DEUX COURBES DANS L'ESPACE

Ces valeurs déterminent entièrement la forme de l'hélice. Il ne reste plus alors qu'à fixer, au moyen des cinq conditions restantes, la position de l'hélice dans l'espace.

On pouvait prévoir a priori que l'hélice ne peut avoir, en général, avec une courbe donnée, qu'un contact complet du second ordre; car, pour l'hélice, dont le rayon de première courbure est constant, le centre de la sphère osculatrice coïncide [663 et 724] avec le centre de courbure, ce qui n'a pas lieu pour une courbe quelconque. Donc les différentielles du troisième ordre, d'où dépend [661] la position du centre de la sphère osculatrice, ainsi que l'angle de torsion, ne peuvent être toutes les mêmes pour l'hélice et pour la courbe donnée, comme il le faudrait pour un contact complet du troisième ordre.

737. Contact d'une ligne et d'une surface. — On considère le contact de la ligne avec sa projection sur la surface, faite par des parallèles à l'axe des z, menées des divers points de la ligne jusqu'à la rencontre avec la surface, l'axe des z étant supposé non parallèle au plan tangent.

La distance des points de la courbe et de sa projection, qui répondent aux mêmes valeurs de x et dej-, est

Zj — z, = Z — z + - (dZ — dz) H- — [d'-Z — d^z) -\- . -,

les dX, d2Z, ... relatifs à la courbe étant donnés en fonction de la variable indépendante t et de sa différentielle par les équations de la courbe, ainsi que les valeurs de x, y, dx, djr, d-x, d2jr, ..., communes à la courbe et à sa projection sur la surface. On a ensuite, pour les dz, d2z, ... relatifs à la projection,

dz — p dx -+- q df, r/2 z z= pd-.x -h qdP-y -+- r dx~ 4- isdxdj -h tdy~, etc.

On aura maintenant :

i° Pour qu'il y ait un point commun, la condition X=z; a0 Pour qu'il y ait contact du premier ordre, dZ = dz] 3° Pour qu'il y ait contact du second ordre, d2Z = d2z ;

et ainsi de suite. On en tirera les conditions d'osculation d'une courbe et d'une surface.

738. Exemples. — I. Plan oscillateur à une courbe. — Représentons par Ax-f-Bj-f- Cz-f-D = o l'équation de ce plan. Sa détermination dépend de trois conditions arbitraires, qui permettront d'établir entre ce plan et la courbe un contact du second ordre. On aura, en différentiant l'équation du plan deux fois, et remplaçant partout les coordonnées x, y, z du plan par les coordonnées X, Y, Z de la courbe, les équations

AX h-BY + CZ + D = o, At/X + BrfY -1- CdZ = o, ArZ2X-!-- B<T-Y + CcPZ — o,

qui sont celles qui nous ont déjà servi à déterminer le plan oscillateur [633].

II. Sphère osculalrice à une courbe. — En remplaçant, dans l'équation de la sphère (x — a)2 -f- (j — b)--r-[z — c)2=R2et dans ses trois premières différentielles, x, jr, z parles coordonnées de la courbe, il vient

(X - af + (Y - bf -+- (Z — c)2 ^ R2, (X — a)dX -+- (Y— b)dY +(Z — c)dZ = o, (X-«)rf!X+ (Y— b)d*Y + (Z —c)d*-Z= — dS\ (X — «)c/3X + (Y— b)d*Y+ [Z—c)d3Z = — 3dScPS,

et l'on retrouve ainsi les équations déjà obtenus au n° 743, pour déterminer les 4 paramètres a, b, c, R, que renferme l'équation de la sphère.

III. Cercle oscillateur à une surface. — Les équations d'un cercle dans l'espace renferment 6 paramètres [736, II j . En différentiant les deux équations du cercle chacune n fois, et remplaçant partout les coordonnées du cercle par celles de la surface, on obtiendra 2 7z+ 2 conditions. Les indéterminées de la question seront, outre les 6 paramètres, les n dérivées

dy d\r d'\y

dx dx2 dxn

ce qui fait un total de 6~+- n indéterminées. Pour que le nombre des conditions soit égal à celui des inconnues, il faut que l'on ait