CONTACT D'UNE LIGNE ET D'UNE SURFACE

2« + 2 = 6 -+- ji, d'où n = 4- On pourra donc trouver, en chaque point de la surface, une section ayant avec un cercle un contact du quatrième ordre.

739. Contact de deux surfaces. — En désignant par Z et z les ordonnées de deux surfaces, on aura, comme précédemment, pour la distance des points de ces surfaces qui répondent à x-+-dx,

Zy—z^Z — z-h-ldZ — dz)-^ -*— (d*Z — dH) -\

Ces deux surfaces auront un point commun, si l'on pose la condition Z = z. Elles auront un contact du premier ordre si l'on a dX = dz, c'est-à-dire

(P—p)dx+[Q — q)djr = o.

Pour que ce contact du premier ordre soit complet, il faut qu'il ait lieu dans toutes les directions à partir du point commun, c'està-dire, quel que soit le rapport-^-, ce qui exige que l'on ait les deux conditions

Pour que le contact soit du deuxième ordre dans toutes les di-

dj dx^

rections, il faut que l'on ait d2Z = d- z, quel que soit —, ce qui

donne les trois conditions

Et ainsi de suite. En général, pour qu'il y ait un contact complet de l'ordre n, il faut poser

conditions.

740. Exemples. — I. Plan oscillateur à une surjace. — L'équation du plan étant Z = «X -+- b Y -+- c, on a

V=a, Qz=b.

Les conditions d'un contact du premier ordre avec une surface H. — Cours de Cale, infinie, II. u

'±lb LIVRE III. — CHAP. II, § IX.

donnée sont donc

z = ax H- by -h c, a=zp, bz=q,

et l'on retrouve ainsi l'équation du plan tangent [637J.

IL Sphère osculalrice à une surjace. — L'équation de la sphère ne contenant que 4 paramètres, on ne peut établir qu'un contact complet du premier ordre, au moyen de trois conditions, et il reste encore une condition arbitraire. En cherchant les points pour lesquels on peut établir entre la sphère et la surface un contact complet du second ordre, on trouverait les ombilics [685].