DES MOMENTS D'INERTIE , ETC
741. Nous avons défini [23o] ce qu'il faut entendre par deux aires équivalentes. Le problème de la quadrature d'une aire plane, terminée par un contour curviligne, consiste à trouver une figure rectiligne équivalente à l'aire donnée, cette figure rectiligne pouvant aisément être transformée en un carré équivalent.
Ce problème général peut toujours se ramener à celui de la quadrature d'une aire limitée d'une part par une courbe donnée, d'autre part par des droites convenablement choisies, qui sont, dans le cas des coordonnées rectilignes, l'axe des x et les deux ordonnées extrêmes; dans le cas des coordonnées polaires, deux rayons vecteurs donnés.
Si l'on demande, par exemple, l'aire d'une courbe fermée, rap-
portée à des coordonnées rectilignes, on mènera à cette courbe
deux tangentes AE, CF (fig- 72), parallèles à l'axe desj^, et l'on cherchera la différence entre les deux aires EABCF, EADCF. comprises entre ces tangentes, l'axe des x, et chacune des deux portions dans lesquelles les points de contact divisent la courbe.
Si l'on considère l'aire comprise à l'intérieur d'un quadrilatère curviligne, tel que ABGD (Jig- 73), formé par les quatre courbes
Tiff- 73-
AB, BC, CD, DA, on mènera les ordonnées des sommets, qui décomposeront cette aire en ABB' A'-f- BCC'B'— ADD'A'— DCC'D' , et l'on évaluera séparément chacune des parties.
On verra de même aisément comment il faudra opérer dans tout autre cas particulier.
742. Nous avons vu [235 et suiv.] que, si l'on suppose les coordonnées rectangulaires, l'aire comprise entre la courbe, l'axe des x et les deux ordonnées extrêmes est la limite commune des sommes des parallélogrammes, intérieurs ou extérieurs, ayant pour bases les divisions infiniment petites de l'abscisse, et pour hauteurs les ordonnées correspondantes. On a donc, pour l'élément d'aire,
dk z^jdxy d'où 1
I ydx.
Si, au lieu d'être rectangulaires, les axes coordonnés faisaient entre eux un angle quelconque 9, l'élément d'aire serait un parallélogramme ayant pour base dx et pour hauteur y sin 6, et l'on aurait
cD .-— sinô .ydx, l — sin 1
£}dj
Si l'on considère l'aire comprise entre deux courbes^j =y(x), Y=F(x), et les deux ordonnées correspondantes aux abscisses x0, X, on aura, dans le cas des coordonnées rectangulaires,
cT).= {X — y)d.T, > = / (Y— y)dx.
Si les coordonnées étaient obliques, on multiplierait le résultat par le sinus de l'angle qu'elles font entre elles.
743. Si la courbe est rapportée à des coordonnées polaires, on emploiera un autre mode de décomposition de l'aire. On la partagera en secteurs infinitésimaux, compris entre la courbe et deux rayons vecteurs infiniment voisins. Or si, de l'origine comme centre (fîg. y 4), avec chacun des deux rayons vecteurs comme
rayon, on décrit des arcs de cercles MN', M'N, le secteur de la courbe OMM' se trouvera compris entre les deux secteurs circulaires OMN', ONM', qui ont même angle et des rayons infiniment peu différents, et qui par suite diffèrent entre eux infiniment peu. Donc on peut [195] remplacer le secteur OMM' par le secteur circulaire OMN',
qui a pour mesure - OM X arcMN' = - r-dp. Telle est donc la 11 1 2
valeur de l'élément d'aire, et par suite l'aire totale, comprise entre les rayons vecteurs qui font avec l'axe des x les angles p0 et P, aura pour valeur
1=- z-2 dp.
L'aire comprise entre les deux mêmes rayons vecteurs et les deux courbes qui ont pour équations r —f(p)i R = F '(p), est
égale à
= - / (V-r*-)Jp.
23o LIVRE III. — CHAP. III, § I.
Pour avoir l'aire totale d'une courbe fermée, si l'origine des coordonnées est intérieure à la courbe, on prendra, pour limite de l'intégration par rapport à p, les valeurs o et 2 7r, ou plus généralement p0 et /?oH-2 7r. Si l'origine est extérieure à la courbe, on mènera par cette origine les deux tangentes extrêmes à la courbe, correspondantes aux valeurs minimum et maximum de l'angle p, et
déterminées généralement par la condition — = o, ou tang0 — -o.
Si l'on désigne par p0 et P ces valeurs, et que r et R représentent les rayons vecteurs des deux branches de courbe dans lesquelles les points de contact partagent le contour, on aura, comme cidessus,
744. Exemples. — ï. Soit la courbe représentée par l'équation
On arfA= axmdx, d'où, en intégrant entre les limites x0, X, et désignant par j 0, Y les ordonnées correspondantes à ces abscisses,
* = - - (X"'+I - <+1) = — ■— (XY - .r0r0). m -r ï m -\~ i
Pour m positif,^ s'évanouit avec x, et, en faisant x0 -— o, la formule
se réduit à XY. Donc l'aire de la courbe est dans un rapport
constant avec le rectangle construit sur les deux coordonnées X,
Y du point extrême. Dans la parabole ordinaire, m est égal à 2 ou
à -1 suivant que la courbe tourne sa convexité ou sa concavité
vers Taxe des x. Alors l'aire comprise entre la courbe et l'axe des x
est -ou -du rectangle des coordonnées de l'extrémité. Si m est négatif et = — n, alors
Wr x
Pour n <^\, et x0 = o, on a, en supposant x0 — o,
XY
valeur de l'aire asymptotique comprise entre la courbe et l'axe desy. Pour n ^> i , on a, pour X = co ,
valeur de l'aire asymptotique comprise entre la courbe et l'axe des.r. On voit que l'une des deux aires asymptotiques est finie, l'autre infinie, quel que soit n différent de l'unité. On passerait d'ailleurs du cas de n<^\ au cas de ji^> i, en échangeant entre eux les axes des x et des y.
Pour n = i, on est dans le cas de l'hyperbole ordinaire, et, en supposant l'angle 9 des asymptotes quelconque, on a
a = a sin t> . log — »
Xq
valeur infinie aussi bien pour x0 = o que pour X — oo . Donc les deux aires asymptotiques de l'hyperbole ordinaire sont infinies. Si l'on suppose a=i} x0 = i , on voit que l'aire hyperbolique représente le logarithme de l'abscisse X dans le système dont le module est égal à sin0.
II. Soit la cycloïde allongée ou raccourcie, représentée par les équations
x = a ( nt — sin t ) , y = a ( i — cos t ) . On a
dx — adt[n — cos?), d'où
J'y dx = a? j ( i — cos t) [n — cos t ) dt
(n-i — ) t — ( i -+- n ) sin t -+- j sin 2 1\ -f- C
— \ax #sin£ y + M | <z -f- C.
,nj 2 L \ ") J
La constante est nulle, si l'on compte Faire à partir de t = o, qui répond àx = ^ = o.
Dans le cas de la cycloïde ordinaire, n = 1, et cette expression se réduit à
— a [Zx — /sin/) = — ax q= — y \jiay — y2,
le radical devant être pris avec le signe — ou le signe + , suivant que sint est positif ou négatif. Pour £= 2?r, on a X = 3îra-= le triple de l'aire du cercle générateur.
Dans le cas de la cvcloïde raccourcie, n<^ i. Depuis l = o jusqu'à la valeur qui donne cos/ = >7, dx est négatif, et la formule donne Faire comprise entre l'axe des x et la branche de courbe inférieure, cette aire étant prise négativement. Depuis cette valeur de t jusqu'à celle qui répond à x — o, on a dx positif, et l'intégrale exprime l'aire comprise entre l'axé des x et la branche supérieure de la courbe, cette aire étant prise positivement. Donc l'intégrale, prise de t == o jusqu'à la plus petite racine positive de l'équation nt — sinZ = o, représente l'aire comprise entre les deux branches de la courbe. En faisant t = 2 7r, on verra de même que l'expression (ui -f- i)tt«2 représente l'aire comprise entre l'axe des x et le premier arceau de la courbe, dans la concavité de cet arceau.
III. Le folium de Descartes x3 — ?>axy -+-J3 = o peut être représenté, en faisant J= lx, par les deux équations
3 at 3 af-
On tire de là, en intégrant par parties,
r , c -, t . t r , 7 r • 9«* r ti(it
).= / rdx = I tx.dx — - tx- \ x-dt = - tx~ — - — I -. — -
2 2 1 -t- t* 2 (l + fJ )2
En raisonnant comme nous venons de le faire pour le cas de la cy-
cloïde raccourcie, on voit aisément que l'on obtiendra l'aire de la
