IV. Dans la spirale d'Archimède, j- = ap, on a P

i j a*p*dp = g fl«(P»-^«)= ^ (R3- rj).

En faisant p0 = o, P = 271, on a, pour l'aire de la première circonvolution,

c'est le tiers de l'aire du cercle de rayon 2 7i«. Pour avoir l'aire entourée par la seconde spire, on fera p0 = 2 7r, P= /[n, d'où

En général, l'aire terminée par la 7zieme spire et par une portion de l'axe des .r a pour expression

>«= -g" [(2«Tr)3— (2«— 2)3TT3]

L'aire comprise entre la nièmo spire et la (zz — i)'ème est

A ln~ >n 1=^7r»a1[iî8— 2(« — Ij3+ (« — 2)3] = 8tt3«2(« — i).

On trouve ainsi A2 — X, = 8 7i3 «2.

745. ^4ire comprise entre une courbe et sa développée. — En considérant l'aire comprise entre la développée et deux rayons de courbure infiniment voisins, on voit aisément que cette aire a pour

expression dl = - p-dz. La somme de ces aires élémentaires ou

l'aire comprise entre la courbe, la développée et les deux rayons

de courbure extrêmes sera donc

2 ^ r 2 ^ r 2. J drz a J j'

Exemple. — Pour la cycloïde ordinaire, on a

p — 4 rt s^n t-> ds = 2adt sin - t,

d'où

X = — fpds —. fia?[i — cosî) <r/f = ia? (f — sinf) = 2«.r.

746. Rectification des courbes. — ■ Nous avons déjà vu [540] des exemples de rectification des courbes planes. Traitons encore ici quelques cas.