I. Considérons l'ellipse, représentée par les équations

.r = «cosf, y = b su\t.

On en tire, en posant a- — b2 = a-e-,

ds^ — a% dfî ( î — e2 cos2 t) .

En posant donc cp — 1, on a, pour l'arc compté à partir du

sommet du petit axe,

s ■=■ a j dyyi — e2

L'arc est donc exprimé par une intégrale elliptique de seconde espèce [455].

Théorème de Fagnano . — Si l'on désigne, comme au n° 519, par g la perpendiculaire abaissée de l'origine des coordonnées sur la tangente, et par h la projection du rayon vecteur sur la tangente, comptée positivement ou négativement suivant que l'angle 9 est aigu ou obtus, on a

g — rsin9, h=rcos6,

dh = — g dQ -r- cos 9 dr.