RECTIFICATION DES COURBES

On a maintenant

Donc

dr . r dp

dz = dQ -h dp, cos 0 = — •> sin 6 = — — . ds ds

/•2 dp- -+- dr2 dn -\- s: dz zzi g dp -Y- cos 9 dr = — ds,

5 b l ds

formule qu'il est facile de démontrer géométriquement.

Si l'on désigne par u l'angle de la perpendiculaire g avec l'axe des x, on a

d'où l'on tire

( I ) ds — dk -\- g dv ,

(2) g = x cosu -f- j sinu, h ■=. — x sin v -+- y cos u .

Si nous considérons maintenant l'ellipse, la relation dx cos m -f- <ir sin u = o donne, en mettant pour dx, dj les valeurs — a sintdt, b costdt,

b cos d'où l'on tire

cosu sinu /cos2u sin2u y 1 — e2

b cos t a sin t y è"2 a2 b

a cosu

1 — ■ e- sin-u

g — a \J 1 — e2 sin2 u , h =

— sinu a

y/ 1 — • e2 sin2 u

#e2 sin y cosu

y/i — -e2 sin2u

Fig

Ml\>

//Ju

IN

L'équation (1) donne donc, pour l'arc AM {fig. j5), compté à

partir du sommet A, qui correspond à l — o, v — o et h ™ o,

s = h -+- a / dv \ i — e2 sin2v.

En appelant 5' l'arc compté à partir du sommet B, on a, d'après ce que nous avons vu,

?' = a j clf\J\ J o

Si donc on prend <p = u, on aura 5 = 5'+ //, c'est-à-dire

AM — BM' — MT.

On a donc ainsi deux arcs d'ellipse, dont la différence est égale à une ligne droite facile à construire. Il vient, à cause de cp = v,

e2 a cosu . e-

— h = — — ===== • a sin y = — ■ xx , a \j \ — <?2 sin2u a

x et x1 étant les abscisses OP, OP' des points M et M'.

IL Soit la cycloïde allongée ou raccourcie [744, II]. On a

dx = adt^n — cos t ) , dy— adt sin t, d'où l'on tire

, , , / 4 n • => l a 1 + n ) dt i / 1 ■ sin- —

On voit par là que la rectification de cette courbe se ramène à celle d'une ellipse dont le demi-grand axe serait 2a(i + «), et

2 u ji j l'excentricité ■ •> - l étant le complément de l'anomalie ex-

centrique.