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CUBATURE ET COMPLANATION DES SURFACES CYLINDRIQUES ET CONIQUES ET DES SURFACES DE RÉVOLUTION.
747. Surfaces cylindriques. — Une surface cylindrique est engendrée par une droite mobile [génératrice), qui se déplace parallèlement à elle-même, en s'appuyant sur une courbe fixe [directrice ) .
Toute courbe tracée sur la surface peut être prise comme directrice.
Toutes les sections faites dans la surface par des plans parallèles sont égales entre elles. On appelle section droite celle qui est faite par un plan perpendiculaire aux génératrices.
Un plan tangent à la surface est la limite d'un plan passant par deux génératrices infiniment voisines. Ce plan est tangent tout le long de la génératrice qu'il contient.
Le cylindre qui a pour directrice un polygone inscrit ou circonscrit à la directrice d'un cylindre donné est un prisme inscrit ou circonscrit au cylindre donné.
Si Ton considère le volume compris entre une surface cylindrique et deux sections parallèles entre elles, de même que l'aire de la section est la limite de celle d'un polygone inscrit ou circonscrit, de même le volume du cylindre est la limite d'un prisme inscrit ou circonscrit à ce cylindre.
Le volume d'un prisme est égal au produit de sa base par sa hauteur, ou encore au produit de sa section droite par son arête. On en conclut que le volume du cylindre a aussi pour expression le produit de sa base par sa hauteur, ou le produit de sa section droite par son arête.
748. Considérons une portion de surface cylindrique comprise, d'une part, entre deux génératrices données, et, d'autre part, entre deux plans parallèles. Si l'on considère les prismes infinitésimaux inscrits ou circonscrits à cette portion de surface cylindrique, ils auront pour arête commune l'arête du cylindre, et pour sections droites des polygones infinitésimaux inscrits ou circon-
scrits à la section droite du cylindre. La surface d'un quelconque de ces prismes est égale à son arête multipliée par le périmètre de sa section droite. Or les périmètres de toutes ces sections droites ont pour limite commune le périmètre de la section droite du cylindre. Donc les surfaces de tous les prismes infinitésimaux inscrits et circonscrits tendent vers une limite commune, qui est dite l'aire de la portion de surface cylindrique, et qui a pour expression le produit de l'arête du cylindre par le périmètre de sa section droite. Ainsi, en appelant/ la longueur de l'arête, ds l'élément d'arc de la section droite, l'aire de la surface cylindrique sera exprimée par l'intégrale Ifds.
Plus généralement, si la portion de surface cylindrique est terminée par deux courbes quelconques, au lieu de deux sections parallèles, la longueur / de l'arête sera variable, et dépendra du point de rencontre de la génératrice avec la section droite. Elle pourra donc être considérée comme une fonction de l'arc s de la section droite, et l'aire cylindrique sera la limite de la somme de parallélogrammes infinitésimaux ayant pour hauteur ds et pour base /. On aura donc, pour expression de l'aire, flds.
Par exemple, l'aire comprise entre la section droite et l'hélice déterminée par l'équation / — as -f- h a pour valeur
b\ds
749. On aurait pu tirer immédiatement toutes ces conséquences de la considération du développement d'une surface cylindrique sur un plan, et des résultats démontrés pour les figures planes. Supposons que l'on développe sur un plan la surface prismatique infinitésimale, dont la surface cylindrique est la limite. Chaque figure tracée sur le cylindre pouvant être regardée comme la limite d'une certaine figure tracée sur la surface prismatique, la limite vers laquelle tend le développement de celle-ci sera dite le développement de la figure cylindrique. Ainsi la limite d'une portion du périmètre de la section droite du prisme étant la portion correspondante de l'arc de la section droite du cylindre, la limite de la droite suivant laquelle se développera le périmètre de la section droite du prisme sera une droite, de même longueur que la section
COMPLANA.TION DES SURFACES CYLINDRIQUES. 23g
droite du cylindre, et qui sera le développement de cette section droite.
On voit aisément que, si une figure est donnée sur la surface cylindrique par la relation entre l'arc s et la portion de génératrice l comprise entre la courbe et la section droite, cette équation représentera encore le développement de la figure sur un plan, lorsqu'on y considérera s et / comme des coordonnées rectangulaires. On voit de cette manière que le développement d'une hélice est une ligne droite, d'où il résulte que l'hélice est la ligne la plus courte entre deux de ses points sur la surface du cylindre.
750. Surfaces coniques. — Un cône est une surface engendrée par le mouvement d'une droite [génératrice) mobile autour d'un point fixe (sommet), et s'appuyant constamment sur une ligne fixe (directrice). Lorsque la directrice est une courbe plane, on lui donne le nom de base du cône.
Le plan tangent à un cône est la limite d'un plan passant par deux génératrices infiniment voisines.
Si l'on prend pour directrice, au lieu de la courbe directrice d'un cône, un polygone infinitésimal inscrit ou circonscrit à cette courbe, on obtiendra une surface pyramidale infinitésimale, inscrite ou circonscrite à la surface conique. Les sections faites dans cette surface pyramidale par des plans parallèles étant des polygones semblables, on en conclut que les sections du cône, faites par des plans parallèles, sont des courbes semblables.
Si l'on considère le volume compris entre la surface conique et une section plane, prise pour base, ce volume sera la limite commune des volumes des pyramides de même sommet, ayant pour bases des polygones infinitésimaux inscrits ou circonscrits à la base du cône. Donc le volume du cône est égal au tiers du produit de sa base multipliée par sa hauteur.
C'est ce que Ton peut voir directement, en décomposant le cône en tranches infiniment minces par des plans parallèles à la base, et remarquant que chaque tranche diffère infiniment peu d'un cylindre de même hauteur et ayant pour base une des bases de la tranche. Or, si h est la hauteur du cône et b sa base, l'aire de la section faite parallèlement à la base par un plan situé à la distance z
du sommet sera — b. Donc le volume de la tranche sera — bdz, et
par suite le volume du cône entier sera
Z— bdz= \-hb.
On trouverait, pour le volume d'un cône tronqué,
V= / *-bdz= \, / b = JU (V-hk.
ce qui conduit à l'expression connue en Géométrie élémentaire.
751 . Considérons maintenant la portion de surface conique comprise entre deux génératrices données et une courbe tracée sur la surface 5 inscrivons et circonscrivons à cette surface des pyramides infinitésimales, ayant pour bases des polygones infinitésimaux, inscrits ou circonscrits à la courbe donnée. Si SAB est une des faces de la pyramide inscrite, par exemple, son plan fera des angles infiniment petits avec les plans des faces des pyramides, tant inscrites que circonscrites, que l'on obtiendra en subdivisant l'arc AB. Donc les surfaces de ces portions de pyramides différeront infiniment peu (c'est-à-dire d'infiniment petits du troisième ordre) de leurs projections sur le plan SAB. Or la différence entre une de ces projections et le triangle SAB est la projection d'une portion de polygone infinitésimal dont les côtés font des angles infiniment petits avec AB, et il est aisé de voir que cette projection est encore infiniment petite du troisième ordre. On en conclut que les éléments superficiels correspondants, dans toutes les pyramides infinitésimales, diffèrent entre eux infiniment peu, et par suite les sommes de ces éléments tendent vers la même limite. Cette limite commune des portions de surfaces pyramidales inscrites et circonscrites s'appelle Y aire de la surface conique.
Si l'on désigne par /• l'un des côtés finis d'une face infinitésimale d'une pyramide inscrite ou circonscrite, et par dp l'angle infiniment petit au sommet du triangle, l'aire du triangle sera
COMPLAXATIOX DES SURFACES COXIQUES. 'ï\\
- r-dp. Donc l'aire de la portion de surface conique sera - fi2 dp.
C'est ce que l'on conclurait aussi, en considérant, comme on l'a fait au n° 749 pour le cylindre, le développement de la surface conique sur un plan. La portion considérée aura pour développement un secteur terminé par une courbe dont r et p seront les coordonnées polaires.
752. On peut encore exprimer autrement l'aire d'une surface conique. Si l'on appelle g la perpendiculaire abaissée du sommet du cône sur la base de chaque triangle infinitésimal, c'est-à-dire sur la tangente en chaque point de la courbe de base du cône,
l'aire de ce triangle sera - gds. Donc l'aire du cône sera exprimée
par l'intégrale — f gds. Cette formule subsiste, quelle que soit la nature de la courbe de base, plane ou non plane.
Exemple. — Calculer la surface d'un cône oblique à base circulaire.
Soient h la perpendiculaire abaissée du sommet sur le plan de la base, b la distance du pied de cette perpendiculaire au centre du cercle A {fig- 76), a le rayon AC du cercle, t l'angle que fait la
Fig.
Kl
ligne OA avec le rayon AC, g la perpendiculaire SB abaissée du
ingente au cercle en C.
BD + DO = « -1- bcost,
sommet du cône sur la tangente au cercle en C. On a
OB
d'où
SB = g= \//i2-b [a -h bcost)-.
Coins de Cale, infinit., II.
Hfa LIVRE III. — Cil A P. III, § II.
d'ailleurs ds = adt. Donc l'aire du cône est donnée par l'intégrale - afdt s/h* H- (a -+- b cos?)2,
qui se ramène aux intégrales elliptiques.
Si le cône est de révolution, b = o, g = l'arête \jh~-\- a-, et l'intégrale, prise de o à 2Tr, donne, pour la surface cherchée, ixag.
L'aire d'un tronc de cône de révolution, comprise entre les plans menés aux distances h et nli du sommet, sera la différence des deux surfaces Ttag et iz.na.ng, savoir
, . , . , . , . i-na + iizna Tr(ag— na.ng) = it[i — n)g[a-\-na) = (i—n)g ,
ce qui donne l'expression connue dans les éléments de Géométrie. Si donc une droite, de longueur s, et dont les extrémités ont pour ordonnées j0j2, tourne autour de l'axe des x, l'aire du tronc de cône qu'elle décrit aura pour expression
„ ri -+- y*
lit ■ S.
753. Surfaces de révolution. — Si nous supposons une courbe quelconque tournant autour d'un axe fixe, la surface engendrée sera dite une surface de révolution. La droite fixe est Taxe de révolution; les sections faites par des plans perpendiculaires à l'axe de révolution sont des cercles, que l'on nomme les parallèles de la surface. Les sections faites par des plans passant par l'axe sont des courbes, toutes égales entre elles, et que l'on nomme les méridiens. Toute surface de révolution peut être considérée comme engendrée par la révolution de son méridien autour de son axe.
Le volume compris entre une surface de révolution et deux parallèles donnés est la limite de la somme des tranches infiniment minces, comprises entre des parallèles infiniment rapprochés. Or une de ces tranches diffère infiniment peu d'un cylindre ayant pour base un des deux parallèles correspondants, et pour hauteur la distance de ces parallèles. Si donc on prend l'axe de révolution pour axe des x, et que y =f(x) soit l'équation de la courbe méridienne dans son plan, la base de la tranche cylindrique sera
COMPLANATION DES SURFACES DE RÉVOLUTION, ïtf
7rr2, et sa hauteur dx. Donc le volume cherché aura pour expression
77 f y2 dx.
Ainsi, en supposant que le méridien soit une ellipse,
le volume total sera [460]
- i &( I— —\dx = 2T! f bï{x——\dxz==^77abK
754. Supposons que l'on ait inscrit dans la courbe méridienne un polygone infinitésimal. L'aire engendrée par la révolution de
ce polygone sera la somme des ailles 2?r — — — ds, engendrées par
chacun de ses côtés ds [752], Les ordonnées j\,ji étant infiniment peu différentes entre elles, et ds différant infiniment peu de l'élément d'arc de la courbe méridienne, la limite de la somme de ces aires infinitésimales sera représentée par l'intégrale
■277/ y ds,
et cette limite sera dite l'aire de la surface de révolution.
Exemples. — I. Aire de l' ellipsoïde allongé, engendré par
l'ellipse
x 7= a cos t , y — h sin t,
tournant autour de son grand axe ia. La formule précédente donne [746]
S = 1 r.Jb sin t . a dt \J 1 — é- cos2 1 = — 2 77 bfdx i / 1 — — ^- ,
ex . ,, , 7 a ,
ou, en posant — = sin<y, a ou dx = — cosipac^,
'zitab r 77 ab , .
S = J COS' çp dy 7= ( f -f- SllKp COS'fj + G
/ . ex ex / e~x-\
I arc sin 1 i / 1 ) + L.
Pour avoir l'aire totale, on prendra l'intégrale depuis xt—ci jus-
qu'à x — o, et l'on doublera, ce qui donnera S = ir.ab I \/ \
II. Aire de l'ellipsoïde aplati. — En faisant tourner l'ellipse précédente autour de l'axe des y, on aura, en posant f= Ji — e-,
s= iTzJxcts = 2-a-J cos tdt yi — c cos-£ = J dy l / i-j '—r
— y^LL fOtfodo = — ff + Sh« Cha>) + C
Intégrant entre les limites y — o,y = b, et doublant, on a, pour la surface totale de l'ellipsoïde aplati, à cause de a2f-—b-,
2^(i+^ArgShî)^2.(^ + flogV/i±f).
En supposant, dans l'un ou l'autre des deux ellipsoïdes, e infiniment petit, on retrouve comme limite l'expression connue de la surface de la sphère.
CUBATURE et complanation des* surfaces quelconques.
755. Nous avons vu [473, 474] comment le volume compris entre deux surfaces (dont l'une peut être le plan des xy), deux plans parallèles au plan des zy, et deux cylindres parallèles à l'axe des z (pouvant se réduire à deux plans parallèles au plan des zx), se ramène au calcul d'une intégrale double
ffz dx dj-, ou ff(Z — z) dx dj;
et comment on évalue une semblable intégrale.
Si la base du volume était un quadrilatère curviligne quelconque ou une courbe fermée, on opérerait des décompositions analogues
