CUBATURE DES SURFACES QUELCONQUES. 2J

à celles que nous avons indiquées [741] pour les cas semblables dans la quadrature des courbes planes.

Si le volume est terminé par une surface fermée, on commencera par déterminer le contour apparent de cette surface sur le plan des xy, en circonscrivant à la surface un cylindre parallèle à l'axe des z. Pour cela, si l'on représente par F(x,y, z) = o l'équation de la surface, on exprimera que le plan tangent en un point est pa-

dF rallèle à l'axe des z, en posant [646] -y- = o, et l'élimination de z

entre cette équation et celle de la surface donnera Féquation du cylindre circonscrit à la surface et parallèle à l'axe des z, et en même temps l'équation du contour apparent, base de ce cylindre. La courbe de contact de ce cylindre partagera la surface en deux portions : soient z et Z les ordonnées de ces deux portions pour un même système de valeurs de x et de y. Ou obtiendra le volume renfermé dans la surface en prenant la différence des volumes

ffzdxdy, f/Zdxdj,

compris entre chacune de ces portions de surface et le plan des xy, de sorte qu'on aura

V=ff(Z-z)d.rdv,

les limites des deux intégrations devant être déterminées conformément à ce que nous avons dit.

756. Exemples. — I. Cherchons le volume compris entre la surface

z = a.r.»< + bf\

les trois plans coordonnés, et deux plans quelconques parallèles l'un au plan des zx, l'autre au plan des zy. On a, en intégrant d'abord par rapport à x,

:d.>= ■ h bxrn:

puis, en intégrant par rapport à y,

axm bjn

Si l'on avait m = n, on trouverait, pour le volume de la surface z— axm-\-by™,

Ces résultats supposent w-f- 1 et n -+- 1 positifs. Si ces nombres étaient négatifs, on discuterait les divers cas qui pourraient se présenter, comme on l'a fait pour une question analogue au n° 744.