CUBATURE DES SURFACES QUELCONQUES

le résultat, on aura enfin, pour le volume cherché,

V =| 77 abc.

III. Calculer le volume compris entre le plan des xy, le paraboloïde hyperbolique xy = az, et le cylindre

(.zr-«)2+(j— .€)*=>.

On cherchera d'abord l'intégrale - fxjrdj== — a?) 2, prise entre

les limites jK = c — yjh- — (x — -a)2 et j}'^ = S -+- \Jk2 — [x — a)2, ce qui donnera

ÔV x . „ .r , . , . 26.7

En intégrant maintenant par rapport kx, et posant x — a = Asinqp, il vient

dx J k~ — [x — a)2 = f[v. -f- k sino)) cos-<od'j

== 1 » -f- sin© coso — cos*o» + C.

Il faut maintenant prendre pour limites x = a — A" et x = oc -h A~, ou © = — -et cd = H — -» ce qui réduit l'expression précédente à

757. Calculons maintenant le volume limité par une surface rapportée à des coordonnées polaires, qui sont le rayon vecteur /', la longitude p et la latitude q. Décomposons, pour cela, le volume en éléments pyramidaux infiniment petits, compris entre deux méridiens de longitudes p et p -j- dp, et deux parallèles de latitudes q et q ■+- dq . Si l'on coupe la pyramide par une sphère de rayon /', on pourra considérer la pyramide comme ayant pour hauteur r et pour base le quadrilatère sphérique dont les dimensions sont, suivant le méridien, rdp, et suivant le parallèle (dont le rayon est rcos</), 7' cosqdq.Ldi surface de cette base étant donc r- cos q dp dq,

le volume de la pyramide sera ^ r3 cosqdpdq, et par suite le volume total sera donné par l'intégrale

V = ^ffr% cos 1 dpdq,

prise entre des limites convenables, après qu'on y aura remplacé r par sa valeur en p, q, déterminée par l'équation de la surface.