Quadrature des surfaces courbes. — Considérons la por

lion de surface courbe qui se projette suivant l'élément superficiel

dxdy du plan des xy. Les plans tangents menés par les divers

points de cette portion de surface feront tous avec le plan des xy

des angles qui diffèrent infiniment peu de celui qui a pour cosinus

i , , . , , , . , . „ dz dz „ .

5 p et q désignant les dérivées partielles — ? -y bi

donc on forme avec ces plans tangents un poryèdre infinitésimal quelconque, circonscrit à la portion de surface considérée, l'aire de ce polyèdre différera infiniment peu de dx dy \Ji -\- p2 -+- q'1. Donc la somme de ces aires polyédriques infinitésimales, correspondante à une étendue finie de la surface courbe, aura une limite déterminée, exprimée par l'intégrale double

ffdx dy y/;2 + q2 ■+ i ,

prise entre des limites convenables, que l'on déterminera comme on vient de le faire pour le problème des cubatures. Cette limite des surfaces polyédriques infinitésimales circonscrites est dite Y aire de la surface courbe.

759. Exemple. — I. Soit proposé de calculer l'aire d'un demifuseau sphérique ABC (fg. 77), compris, sur la sphère

entre le plan des xy, celui des zx et un plan passant par l'axe des z et faisant avec le plan des zx l'angle 0. On aura à calculer l'intégrale double

r r a dxdy