COMPLANATIOX DES SURFACES QUELCONQUES
Intégrons d'abord par rapport à y, ce qui donne
dy
= arc sin •
Il faudra prendre pour limites, d'une part, l'axe des x corresponds- 77-
dant à y — o, d'autre part la droite OB pour une portion de l'intégrale, et l'arc de cercle BÀ pour l'autre portion. L'équation de OB étant y = x tango, la valeur de l'intégrale sera, dans rétendue
projetée sur OBD,
x tans- 9
a . arc sin •
\la~
Pour la seconde partie, l'équation du cercle BAétantj = \Ja- — x-,
la valeur de l'intégrale sera
a . arc sin i = a . —■
Il faut maintenant intégrer par rapport à x l'expression (i) entre x= o et x = a cosO, l'expression (a) entre x = acosô et x= a. Si l'on pose
.rtansrS
- = sniv,
l'expression (i), multipliée par dx, prend la forme aodx, d'où aj'tfdx = ax.y — afxdy
ax.y — à2 i - J <
sin ydy
= ax.f ■+- a- arc sin(cosa cosfl) -+- C
— ax. arc sin
y/séc2S — cos2y
x tang 9 „ . /a- cos2 9 — .?-2
b ■ -+- a2 arc sm 1 / ; \- C.
V/rt2 — .r2 \ a-— xr
'J.5o LIVRE III. — CIIAP. III, § III.
Pour x — o, cette expression se réduit à
a~ arc sin (cosO\ = a- ( 0
pour x = a cosQ, elle devient
r o1* cos 9 . arc sin i = — «- cos 5 .
Donc l'aire de la portion BGE est
a-B— - a- li — cosQ).
En intégrant maintenant l'expression (a) de x = a cosd kx = a, on trouve
— a~[\ — cos S).
Donc la somme des deux parties, ou le demi-fuseau ABC = «20. II. Calculer l'aire de la partie de la surface
z2 -t- (x cos k -+- y sin «) 2 = a- ,
qui est comprise dans l'angle trièdre des coordonnées positives.
Cette surface est un cylindre de révolution, dont l'axe, situé dans le plan des xj, a pour équation xcosa -h Y sina = o. L'équation de la surface donne
cos « , . . sin k , .
p =zz [x cos a -t- y sin a] , q = (.r cos « -f- y sin «) ,
d'où
a dx dy
HÎ^Bw-
dy . adx . x cos « -f- r sin «
arc sin -h C.
.rCOSK + j sin«j-
En intégrant d'abord par rapport h y, on a l'intégrale indéfinie
adx t
J sja- — (.rcosa -hjrsina)2 sm</-
Pour avoir la portion située au-dessus du plan des xj et en avant du plan des zx, on intégrera depuis y= o jusqu'à la valeur
y = — — [a — x cos v.) ,
COiMPLANATION DES SURFACES QUELCONQUES. S>5l
qui répond à z = o et au contour apparent du cylindre. L'expression précédente devient alors
adx (t. . .rcosK
- — | arc sin
sin a
Il faut maintenant intégrer cette différentielle entre les limites
posant
x = o etx= > cette dernière correspondant à ^ — r = o. En
COS V. v
.ttcosk , «sin»
= COS'J, d ou tir. = rt»,
a cos«
l'intégrale devient
-. I » . sin o ««o = — 1 — es cos s ■+• sin©L = — •
sin a cos v. J0 ' ' sin « cos k ' sin«cos«
On voit que cette aire est carrable.
760. Formules générales pour les quadratures et les cubatures des surfaces au moyen des coordonnées curvilignes. — Tout point de l'espace, déterminé par les coordonnées rectangulaires x, y, z, peut être considéré comme l'intersection de trois surfaces, données par les équations
En faisant varier les paramètres u, v, w, le point d'intersection M variera suivant une loi quelconque, et ces trois paramètres pourront être considérés comme les coordonnées de ce point. On les désigne sous le nom de coordonnées curvilignes. Nous allons voir comment on peut, à l'aide de semblables coordonnées, déterminer l'aire d'une surface donnée ou le volume d'un corps donné.
Supposons d'abord que
(2) A{xtytz)=tv
représente une surface donnée, et considérons, par analogie avec ce que nous avons fait au ri0 477, l'aire du parallélogramme infinitésimal compris sur la surface (a) entre les surfaces/*, = ù,f* = v, et les surfaces obtenues en changeant u en u -+- du, v en v-\- du. Les coordonnées des deux sommets de ce parallélogramme con-
tigus au sommet {oc, y, z) seront [x 4- du x, y H- d.u y, z + r/„ z ) , (,r -f- dv x, y -
dvy,
Donc les aires des projections de ce parallélogramme sur les trois plans des yz, des zx et des xy seront [126]
duy
duz
1 duz
du.x
dux
duy
<lvy
dvz
' 1 dvz
dvx
dvx
dvy
Par conséquent, l'aire du parallélogramme lui-même sera la racine carrée de la somme des carrés de ses projections, c'est-à-dire
duy dvy
du ~dvz
du dv:
dux d„x
dux
du y dvy
-wmn^hmï-
En remplaçant, dans cette expression, x, y, z par leurs valeurs en u, v tirées des trois équations (i), on aura une fonction de ces deux variables, que l'on intégrera entre des limites dépendantes de la forme du contour de l'aire à évaluer ( ' ).
Considérons maintenant un volume. On le décomposera en parallélépipèdes infinitésimaux compris entre deux surfaces^ correspondantes à u et u H- du, entre deux sufaces /2 correspondantes àf et v -+- dv, et entre deux surfaces fz correspondantes à w et vv -f- dw. Les coordonnées des trois sommets d'un tel parallélépipède contigus au sommet [x, y, z) seront x, y, z augmentées de leurs différentielles partielles respectives par rapport soit à u, soit à r, soit à w. Donc le volume du parallélépipède sera [127]
dux
duy
dvx
dvy
dwx
dwy
dudvdw
On obtiendra le volume total en intégrant cette expression par rapport aux trois variables indépendantes u, v, w, entre des limites qui seront déterminées par la forme de la surface qui borne le volume cherché.
(') Voir la formule (/j) du n° 720.
